Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(ср. формулу (31) на стр.187).
Более подробные указания, дальнейшие обобщения и различные применения к механике, электродинамике и теории относительности читатель иїожет найти в вышеупомянутой статье Э. Нетер и приведенных там работах.
10. Трансверсальность для случая кратных интегралов. Если требуется найти минимум интеграла
Я
F(x, у, г, хи, уи, Zlt, X71, уг, zv) dadv,
G
при условии, чтобы граница искомой поверхности [х (и, v), у (и, v), z (и, г»)] лежала на заданной поверхности <р(дс, у, z) = 0, то мы получаем, формально распространяя на этот случай процесс, примененный для кривых, граничное условие:
F. F„
Ло fx
FFw
Уи У?> ГУ
F F
zU 2V
= 0,
однако необходимость этого условия до сих пор еще не удалось доказать (см. Bolza О., »Vorlesungen uber Variationsrechnung1', стр. 670).
11. Диференциальные выражения Эйлера на произвольной поверхности. Пусть кривая поверхность пространства р, q, г задана в параметрическом виде:
P=Pi^ri), q = q(b,r,), /- = /-(?, ij),
и пусть ds2 =¦ edZ2 + 2 fdt- drt drf есть квадрат линейного элемента этой поверхности. Тогда выражение
^ ^ ^ gui — 2 /и. и ^ -f - ей2
eg /2
не зависит от выбора параметра. Поверхностному интегралу
Q[и, и] Yeg-PdZdrl
G
соответствует выражение Эйлера:
Я
ДЦ = А ±1 \-/щ + еиЛ
Й \ Veg-P\ M I Yeg-P J ' Дополнения и задачи к четвертой главе
253
и поэтому выражение
Ди
Veg-P
не зависит от выбора параметров.
12. Принцип Томсона в электростатике. Пусть внутри некоторого конденсатора, т. е. области О, заключенной между замкнутыми поверхностями Г,, Г2, напряжение электрического поля имеет компоненты U, V, W. Пусть выполнено условие отсутствия источников:
Ux+vy-\-W1 = О, (110)
и пусть заданы заряды Qh —Q на обеих поверхностях T1 и Г2: (ихп+ vyn +wzJdS = Q, j
[ (Hl)
(uxn + vyn + wzn)dS= — Q j
Я
T1
Я
г,
(см. обозначения на стр. 242).
Тогда условие электростатического равновесия заключается в том, чтобы энергия поля, равная с точностью до постоянного множителя, зависящего от материала конденсатора, интегралу
Tfl
(и*+ Vі -f W2) dxdy dz,
имела наименьшее значение.
Отсюда мы получаем на основании правила множителей Лаграижа, обозначая через X (лг, у, z), P1 и р2 множители уравнений (110) и (111), в качестве уравнения Эйлера:
и = 1х, v = ly, w = \, (112)
а в качестве естественных граничных условий:
(113)
A= P1 = const на Tj, X = р2 -= const на
а 'г" }
а Г2, J
т. е. вектор напряжения поля с компонентами и, v, w является градиентом потенциала X, имеющего на поверхностях Tj и Г2 постоянное значение и удовлетворяющего уравнению потенциала ДХ = 0.
Этот же результат можно получить без помощи правила множителей, пр'едставляя на основании добавочного условия их -(- v + wz = 0 вектор (и, V, w) в виде ротора некоторого другого вектора и элиминируя этим путем это добавочное условие.
13. Проблемы равновесия упругого тела. Принцип Кастилиано (Castigliano). Чтобы формулировать условия равновесия для трехмерных упругих тел, приведем некоторые определения и основные факты классической теории упругости, не останавливаясь подробно на их физическом значении. 254
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
Пусть рассматриваемое тело заполняет в состоянии покоя область пространства (х, у, z), ограниченную кусочно-гладкой поверхностью. Пусть это тело под влиянием каких-нибудь сил выводится из состояния покоя и принимает некоторое новое положение равновесия, причем каждая точка (х, у, z) смещается на вектор, имеющий компоненты II, V, w. Обусловленное смещениями и, V, W изменение формы тела характеризуется величинами:
называемыми „простыми деформациями", и, кроме того, „расширением":
Возникающие же при деформации упругие силы характеризуются системой девяти компонент натяжения:
являющихся функциями от координат X, у, Z и удовлетворяющих условиям симметрии 5]2 = S,j, Sv3 = S32 и .S31 = S13. Эти натяжения связаны с простыми деформациями согласно закону Гука следующими соотношениями:
где. а и b — постоянные, зависящие от материала упругого тела.
Пусть на внутреннюю точку (х, у, z) тела действует объемная сила, объемная плотность которой имеет компоненты Я,, P2, P3. Кроме тЬго, пусть на поверхности тела действует поверхностная сила, поверхностная плотность которой в точке (х, у, z) имеет компоненты рл, P2, P3.
Тогда условия равновесия выражаются внутри тела уравнениями:
?-?11 "Ь?22~Ь?33-
^n і ^S2I і ^S31 . _
(116) Дополнения и задачи к четвертой главе
255
тогда как на поверхности должны выполняться условия:
ХП + S21yn + S31Zn -P1 = O, Ї S12Xn +S22yn +S32Zn-р2 = 0, і (117)
^з*« + 52зЛ + 5ззг« —/?==0- J
Задача заключается в том, чтобы найти натяжения и простые деформации, если заданы, во-первых, объемные силы P1, P2, P3, действующие внутри тела, во-вторых, поверхностные силы P1, р2, ря, действующие на некоторой части T1 поверхности тела, тогда как на остальной части Г2 этой поверхности заданы смещения и, v, w1), так что на Г2
