Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 89

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 202 >> Следующая


Особенный интерес представляет тот частный случай, когда под-интегральное выражение F вариационной задачи либо вовсе не содержит и, либо зависит от и линейно, т. е. когда

F(x, и, и') = g(x, к')-|- и/(х).

') Эту задачу можно рассматривать как аналогичную задаче VI, п. 1. §9

Приведение вариационных задач

227

В этом случае рассматриваемое преобразование Лежандра не является обратимым для любых заданных р и рНо видоизменив соответствующим образом наше общее преобразование, мы непосредственно получим, что в этом случае вариационная задача I Эквивалентна ¦«і

следующей: — ^ Ф (р) dx р (JC1) U1 — р (дг0) U0 = стационарному значению,

при добавочном условии ^ =f(x). При этом р и Ф (р) связаны с неизвестной функцией и и подинтегральным выражением первоначальной задачи с помощью преобразования:

P= SV; — Ф (P) — g (к') — Wp;

мы предполагаем при этом, что из уравнения gai=р можно обратно выразить к' через р. Новая задача представляет собой существенное упрощение по сравнению с первоначальной задачей. В самом деле, добавочное условие определяет искомую функцию р(х) с помощью квадратуры с точностью до аддитивного параметра.

Чтобы найти этот параметр, мы должны решить обыкновенную задачу экстремума.

Таким образом путем рассматриваемого преобразования мы сводим в этом особом случае нашу вариационную задачу к обыкновенной задаче экстремума.

Уточним теперь наши рассмотрения и, поступая так же, как и в п. 1, рассмотрим наши преобразования не только как преобразования стационарных значений одного функционала в стационарные значения другого, но и спросим себя,' как влияют эти преобразования на минимумы или максимумы функционалов.

Повторяя' рассуждения п. 1, мы придем к следующему результату:

Если для первоначальной задачи I (которую мы теперь назовем задачей V) мы имеем минимум, равный d, то для задачи IV (которую мы теперь назовем задачей IVі) это же значение d служит максимумом.

Как ив п. 1, это утверждение справедливо лишь при выполнении известных ограничительных условий; а именно, мы требуем, чтобы при любой произвольно заданной вспомогательной функции X (х), имеющей кусочно-непрерывную производную, выражение Н, положенное нами в основу в "проблеме II стр. 225, действительно достигало минимума dx, зависящего от X, если только мы заранее предположим, что X (X1) -J- Ji1 = О, X(х0)-j- JX0-О *). Задача нахождения dy приводит нас, если мы устраним в интеграле H путем интегрирования по частям производную функции и, к задаче:

') Если бы X (лг0), X (X1), цо> 14 не удовлетворяли этим условиям, которые сами собой должны выполняться для решения нашей задачи, то при таком выборе X (х), Ji0 и Ii1 рассматриваемый функционал не может никогда достигнуть минимума, ибо каковы бы ни были и и и', вариация функционала всегда может быть сделана отличной от нуля.

15* 228

Основные нонііТия вариационного исчисления

Гл. IV

III. Найти минимум выражения:

X1

Н==\ ] flOt?^o)-"о]+ ^Jk(jcI)-"її =

Xo

X1

Xq

считая X (х) заданной функцией. Соответствующие решения и и и1 этой задачи удовлетворяют тогда уравнениям:

Fo1-X = 0, Fu-^=O. (89)

Сделаем теперь по аналогии с п. 1 дальнейшее предположение, что уравнения (89) однозначно определяют функции и и и' при любых X

и . Так как задача Г с минимумом d получается из рассматриваемой задачи II' путем присоединения ограничительных добавочных du

условий —-И1 = О, u (X0)-IZq = О, u (X1) — u1= 0„ то отсюда следует, что d d} . С другой стороны, решение и задачи Г удовлетворяет уравнениям (89) при X=X = Zv; так как уравнения (89), по предположению, однозначно разрешимы 'относительно и и и', то отсюда следует, что dj = d.

Отсюда вытекает, что

d = шах dx.

Но проблема IV заключается как раз в разыскании максимума dx, так что наше утверждение доказано.

Достаточным признаком выполнения наших предположений являются условия:

F*u'Fuu-(Fu#T>V> FB,U, >0 (90)



для всех и и X рассматриваемой области и при любом значении к'. В самом ^еле, мы уже видели на. стр. 207, что тогда решение уравнения Эйлера дает минимум. Ht? из этих неравенств следует точно так же существование минимума dy задачи II'; ибо уравнения (89) вместе с неравенствами (90) являются условиями того, чтобы подинтегральное выражение интеграла Н, рассматриваемое как функция от независимых переменных и и к', само достигало минимума при значениях и, и', определяемых из уравнений (89), для любого значения х; тем более это справедливо и для иніеграла Н.

В заключение покажем, как этот переход от проблемы минимума к проблеме максимума с помйщью преобразования Фридрихса может быть выведен совершенно непосредственно, если имеют место условия (90). Само преобразование Фридрихса получается при этом само §9

Приведение вариационных задач

229

собой. Формула Тейлора приводит при выполнении неравенств (90) к неравенству:

F (и, и') — F(v, V) — (u~v)Fv — (и1 — V') Fv, ^ 0,

причем знак равенства имеет место лишь при u = v и u' = v'. Если мы напишем это выражение в форме:
Предыдущая << 1 .. 83 84 85 86 87 88 < 89 > 90 91 92 93 94 95 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed