Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
и = и, v = v, w=w. (118)
Состояние равновесия снова характеризуется принципом минимума потенциальной- энергии и определяется путем решения проблемы I о нахождении минимума выражения:
U [и, V, w] =
— " ^ 2г12^12 ~ Г ?22^22 2s23^23 ?33^'зЗ~Ь ^31? Ifi^ Ф' dZ"~
С
_ III (р111 -I р2 V dX dy dz —Jjf/'i" -г P^-\-P3w) ds>
о г,
причем при составлении вариации этого выражения мы рассматриваем в качестве функциональных аргументов смещения и, v, w, принимающие на части Г2 поверхности тела заданные значения и, v и w. Чтобы выразить U через и, V, w, мы должны с помощью уравнений (115) выразить натяжения 5 через простые деформации б, а простые деформации є выразить через смещения и, v, w с помощью уравнений (114).
Вариируя интеграл U [и, v, w], мы без труда получим в качестве условий равновесия уравнения (116) для внутренних точек тела G и уравнения (117) для точек, лежащих на части поверхности Гг
Состояние равновесия можно определить также и другим путем, вводя вместо принципа минимума потенциальной энергии принцип минимума работы деформации. Вывод этого так называемого принципа Ka-стилиано и доказательство эквивалентности этого принципа принципу минимума потенциальной энергии проще всего получить, применяя преобразование Фридрихса.
Для этой цели умножим первоначальные условия (114) и (118) (рассматриваемые как предварительные условия) на соответствующие множители, проинтегрируем их и прибавим к выражению U.
Уравнения Гука (115) рассматриваются при этом исключительно как уравнения, определяющие величины S, и остаются без измененшь Решая получающуюся таким путем вариационную задачу (считая при этом введенные множители произвольно вариирующил/и функциями), мы опре-
') Можно также задать на поверхности смещение по нормали и тангенциальную составляющую силы или же тангенциальное смещение и нормальную составляющую силы. Части поверхности T1 и Г2 могут, конечно, в частности совпасть со всей поверхностью тела. 256
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
деляем эти множители согласно приведенной нами раньше схеме из условия обращения в нуль первой вариации и приходим затем (заменяя предварительные условия естественными, и наоборот) к следующей вариационной задаче, эквивалентной нашей предыдущей задаче:
IT JJ ^8" ^22 4" 2?23 ^23'~Ь?33 ~ ЩІІ ^31Jdx ^У dz-
о
— JJ (Ptu Psv Pzw) dS= шіп.
г»
Это выражение мы должны вариировать по натяжениям S, подчиненным добавочным условиям (116) внутри G и (117) на T1. При этом простые деформации є должны быть заменены их выражениями через натяжения согласно уравнениям (115), а „силы реакции" р , действующие на части поверхности Г2, должны быть выражены через натяжения согласно уравнениям (117). — В качестве дифереициальных уравнений задачи получаются так называемые „условия интегрируемости", которых мы здесь не приводим в явном виде. Согласно обшей теории выполнение этих условий эквивалентно существованию „смещений" и, v, w, связанных с натяжениями 5 посредством уравнений (114) и (115) и принимающих на поверхности Г2 заданные значения и, v, w.
Значение принципа Кастилиано заключается в теоретическом отношении в том, что он служит очень важным примером, подтверждающим общий закон двойственности вариационных задач. В механике принцип Кастилиано имеет особенно важное значение, так как в ряде специальных случаев практически проще пользоваться этим принципом, чем принципом минимума потенциальной энергии. Это, например, относится к соответствующему принципу в теории изгиба балок, который сводится к обыкновенной задаче минимума.
14. Принцип Кастилиано в теории балок. Покажем на типичном примере, как принцип Кастилиано в теории балок выводится из принципа минимума потенциальной энергии. Рассмотрим балку, наглухо закрепленную на левом конце X=— /, подпертую в середине х=0 и подверженную на правом конце X = I действию силы P1 и момента M1. Пусть, кроме того, балка имеет непрерывно распределенную нагрузку с плотностью q(x) на единицу длины. Если обозначить через и(Х) вертикальный прогиб балки, то потенциальная энергия задается выражением: -h
^=J ^2 - чи
dx — Рли (I) 4- M1U1(I).
В положении равновесия балки это выражение должно достигнуть минимума, есаи брать в качестве допустимых функций сравнения все непрерывные и непрерывно диференцируемые функции и(х), удовлетворяющие условиям:
и (-1)=0, U1 (-1)=0, U(O) = O, (119)
причем вторая производная и"(х) предполагается кусочно-непрерывной. §11
Дополнения И задавй к четвертой главе
257
(120)
Чтобы получить естественные условия, определяющие решение нашей задачи, введем функцию М(х) =—и" (*) (равную изгибающему моменту с точностью до множителя, зависящего от материала). Эти условия выражаются тогда следующим образом: внутри обоих промежутков (— /, 0) и (/, 0) функция M (х) и ее первая и вторая производные непрерывны и удовлетворяют уравнениям:
M°(x) + q(x)=0, (М — О) — М{-\- 0) = 0, Af(Z)-Af1 = O, M1(I)-P1= О.
Чтобы получить принцип Кастильяно, преобразуем предыдущую вариационную задачу следующим образом:
