Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 106

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 202 >> Следующая


чем установлена связь с изложенным выше методом, покоящимся ра преобразовании координат.

Для того чтобы затем решить также задачу о вынужденном движении, в которой внешние силы Ph (t) одновременно не исчезают, достаточно найти одно единственное решение диференциальных уравнений ijft XftTjft = Nh(t). Таким решением, для которого к тому же >jft(0) = 0 и Tjft(O)==O, являетвя1)

і

Ъ W = I^=L j Nh (і) Sin]/X~ (t-T) dT, (10)

ftO

а общее вынужденное движение получится тогда наложением аго го частного движения на самое обгцее свободное движение.

Если внешняя сила Nh(I) чисто периодическая с частотой сол, например Nh (t) = ah cos <ол (t — ?), то формула (10) показывает, что коль скоро

') Это решение можно пилучить, заменяя непрерывно действующую внешнюю силу прерывными толчками, отделенными промежутками uf, и совершая затем предельный переход Д<->0. 270

Проблемы колебаний

Гл. V

0)2 ф Xft, движение координаты т)й получается наложением чисто периодического колебания частоты «Л и собственного колебания частоты \f\h. Если же == Xft или, как говорят', возникает резонанс, то вынужденное движение координаты Tih уже не следует ритму возбуждения Nh (t), но, как это легко вытекает из формулы (10),

... aJ . .. s. , OrftSinwftS .

Пп (t) = 2V s,n юл С"1*> ¦+ 2<02 sin tV-

Л Л

и | TjftI остается не ограниченной при возрастании t.

2. Общие свойства колебательных систем. Если расположить квадраты X1,..., Xn чисел колебаний в порядке возрастающей величины: X1 SgX2 г^... «ёХ„, то число X^,, согласно гл. I, § 4, можно определить как наибольшее значение, которое может принять минимум

п

квадратичной формы F= ^ bhkxhxk, когда переменные подчинены, во-

А> = 1

п

первых, условию G = E ahkxhxk~и> во-вторых, еще р — 1 доба-

A1A= 1

вочному услсівию вида:

п

IVft = O (/=1,2.....р-1) (Il)

л = і

с Произвольно, выбранными ahf. Отсюда немедленно получаются некоторые общие теоремы об этих частотах и о соответствующих им высотах тонов. Эти теоремы были уже приведены и доказаны в гл. !. § 4 без указания их физического значения.

ТЕОРЕМА I. р-й обертон колеблющейся системы является наивысшим из основных тонов всех систем, получающиеся из данной наложением каких угодно р — 1 связей вида (11).

ТЕОРЕМА II. EcAu система S благодаря наложению г ограничительных условий вида (11) переходит в систему S' с г связями, то частоты V1',..., vn_r связанной системы не меньше соответствующих частот V1,..., vn_r свободной системы и вместе с тем не больше частот vr+1,..., v„ свободной системы, т.е. .имеют место следующие соотношения: Xp =^ Yp eg Xp +г и соответственно

vp <vp vp+, (р=\,2,..., п — г).

ТЕОРЕМА^ III. При увеличении инертности основной тон и все обертоны падает или, по меньшей мере, не повышаются.

При этом под увеличением Инертности мы понимаем переход к системе С такой кинетической энергией T', 4fо V — T никогда не принимает отрицателькых значений: потенциальная энергия пусть остается при этом неизменной.

ТЕОРЕМА IV. При увеличении жесткости системы основной тон и все обертоны повышаются или, во всяком случае, не понижаются. «з

Колебания струны

271

{Три этом мы понимаем под увеличением жесткости переход к системе с той же кинетической энергией,' но потенциальная энергия которой получается из данной прибавлением неотрицательной формы.

Едва ли нуждается в особом упоминании, что основной тон и обертоны изменяются в противоположном рмысле, чём по теоремам II — IV, когда связи снимают, массы уменьшают, или же систему расшатывают, т. е. уменьшают ее жесткость.

§ 3. Колебания стру.ны.

Мы видели, что при конечном числе степеней свободы можно овладеть всей совокупностью движений, если знать только синхронные колебания. То же относится и к непрерывным колебательным системам. Мы у них, будем искать такие свободные колебания, при которых отклонение и Кюжет быть представлено кай произведение множителя g (I), зависящего только от времени, на зависящий только от положения множитель V (х), называемый. формой колебанья или множителем формы (істоячие колебаний). Любой колебательный процесс можно тогда представить как наложение таких синхронных колебаний.

Мы выясним эти свойства на ряде важных примеров.

1. Свободные колебания однородной струны. Прежде всего рассмотрим простейший пример, а именно диференциальное уравнение: __

Сихх = ? utt ИЛИ uXX=V-2Utt (ji= j/^j (12)

закрепленной однородной струны с краевыми условиями

и (О,*) = « (it,Z) — О

(ср. гл. IV, § 10, стр. 235, 236). В целях упрощения письма представим себе, что единица времени так выбрана, что >1=1. Сообразно с нашим общим планом будем искать такие функции, удовлетворяющие уравнению (12), которые расщепляются на множитель, зависящий только от времени, и множитель, зависящий только от места, т. е. могут быть представлены в таком виде,:

u = v(x) g(t).

Диференциальное уравнение (12) можно в таком случае привести к следующему виду:

V" (X) ^g(t) ^

"(*) gW'

откуда вытекает, что обе стороны должны равняться одной и той же постоянной —X, ибо одна сторона * не зависит or х, а другая — от і. Из краевого условия v(0)g(t) = v(n)g(Z) = O следует, что
Предыдущая << 1 .. 100 101 102 103 104 105 < 106 > 107 108 109 110 111 112 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed