Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Cr-P'
р(х) = е
JV -
С тем же успехом можно диференциальное выражение piі -f ru' -j- qu сделать самосопряженным, введя вместо х новую независимую переменную, а именно:
CCszpL dx
dx,
или вместо и новую зависимую переменную:
JV'"
V =,ие
б) Несколько независимых переменных. Для линейных диференциальных уравнений с частными производными второго порядка получаются совершенно аналогичные преобразования. Идею. этих. преобразований мы выясним на важнейшем примере квадратичного подьин-тегралбного выражения:
Q{u,u\=p(ul+ul) + gu*
С полярной формой
Q [и, V] = р [их Vx -f Uy Vy) quv. H
Предварительные замечания
265
Интегрируя выражение Q [и, v]. по области G с кусочно-гладкой границей Г, получим с помощью интегрирования по частям формулу Грина:
Jj Q [и, V) dx dy = - j^vL [и] dx dy + J ds> (5)
G GT
где
L [и] = (p ux)x 4- (p uy)y — qu,
предполагая, что в замкнутой области G функция v непрерывна и ^меет кусочно-непрерывные первые производные, между тем как у функции и требуется непрерывность первых и кусочная непрерывность вторых производных. При этом через S обозначена длина дуги и через
———диференцирование по направлению внешней нормали..
дП
Если у удовлетворяет тем же условиям, что и, чо можно в формуле поменять местами и и v, и после вычитания обеих формул получим симметричную формулу Грина:
vL[u) — uLW^dxdy^p —и ^jds. (5f)
G Г
Наше самосопряженное 1J диференциальное выражение L [и] переходит -при P= 1, <7 =:0 в выражение потенциала Ди, а формулы (.5) и (5') — в известные формулы Грина из теории потенциала.
4. Линейные функциональные уравнения, как предельные случаи и аналоги систем линейных уравнений. Все диференциальные уравнения мо?кно рассматривать как предельные случаи уравнений в конечных разностях, заменяя отношения диферен-циалов соответствующими отношениями разностей, причем приращение независимой переменной, так называемая ширина петли, имеет значение h, а значения функции и рассматриваются исключительно в узловых точках решетки, координаты которых х, yt____являются целыми кратными
числа h. Диференциальное уравнение переходит тогда в'систему линейных уравнений для значений функции и в этих точках решетки. Подобным же образом можно и интегральные и другие функциональные уравнения заменить системами линейных уравнений. Во втором томе мы примем эту мЫсль за исходный пункт для подробного изучения дифереициальных уравнений, здесь же удовольствуемся тем, что воспользуемся аналогией между диференциальными и разностными уравнениями как Эвристическим принципом, поставив, во главу угла предположение, что задачи, приводящие к линейным диференциальным уравнениям, имеют совершенно аналогичные свойства с теми задачами на линейные уравнения, из которых первые получаются путем предельного перехода. Эта догадка подтвердится впоследртвии при очень, общих предположениях.
% ') Точно так же, как и у обыкновенных линейных дифереициальных уравнении, можно и диференциальному выражению L [к] с частными производными отнести сопряженное выражение M [»} с помощью требования, чтобы vL [и] — иМ[г>] было выражением типа дивергенции. 266
Проблемы колебаний
Гл. V
В частности, по отношению к нашим задачам на линейные диференциальные уравнения имеет место следующая альтернативах если относящаяся к однородному диферёнциальному выражению однородная же задача имеет единственное решение и = О, то неоднородная задача всегда имеет одно и только одно решение. Если. же однородная задача имеет нетривиальное решение, то неоднородная имеет решение лишь при наличии некоторых ограничительных линейных условий, и в последнем случае это решение неоднозначно. Как и в гл. I, особую роль будет играть случай, когда в однородное диференциальное выражение входит линейно Параметр X. Нас интересуют 'как раз те значения X, собственные значения нашей задачи, при которых .однородная задача имеет нетривиальное решение, собственную или фундаментальную функцию.
R задачах на линейные диференциальные уравнения физики непрерывных систем, которыми в последующем займемся, замене диференциальных уравнений уравнениями в конечных разностях соответствует замена непрерывной системы системой с конечным числом степеней свободы
§2. Системы с конечным числом степеней свободы.
Как и в гл. IV, § 10, будем рассматривать систему с п степенями свободы с обобщенными координатами ^r1, ..., qn, которой кинетическая н потенциальная энергии заданы квадратичными формами:
п п
Т= H-aAftW u= H bM1QhVk
Kk =1 A,ft = 1
с постоянными коэфициентами ahk, bhk.
Форма T—положительная определенная по своей природе, что же касается формы U, то мы предполагаем, что она положительная определенная, и в таком случае мы знаем, что при q1=tq2 = ...=z.qn=z 0 имеет место устойчивое равновесие. Если некоторым из координат qh дать различные постоянные отличные от нуля значения или наложить на qh другие неоднородные связи, то установится новое состояние равновесия, отличное от первоначального равновесного положения qh = 0. (Эта последняя постановка вопроса, которая при конечном числе степеней свободы не представляет особого интереса с математической точки зрения, при предельном переходе п—>00 приводит к типичным краевым задачам диференциальных уравнений с частными производными.)
