Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. Собственные колебания. Нормальные координаты. Общая теория процесса. Общая задача о движении нашей системы формулируется с помощью следующих диференциальных уравнений.
п
H KA + bhkqk) = Ph [t) (h= 1,- 2,..., п) (6)
ft = i
Kft= aW bhk=bbh)> Где функции Ph (t) обозначают компоненты внешней еилы, причем ищется Системы с конечным'числом степеней свободы
267
такое решение qh (і) этой системы дифереициальных уравнений, для которого заранее заданы значения ^ft(O) и Qh(O) (Л = 1, 2,..., ti) (начальное положение и начальная скорость): Если внешние силы Ph(t) равны нулю, то говорят о свободном движении или свободном колебании системы.
Полное представление процесса движения легко получается с помощью теории квадратичных форм, как она изложена в гл. I. Рассмотрим две положительные определенные квадратичные формы;
я п
G= X aHkxF= E' bhkxhxk
A,ft=l h.k = X
и приведем их линейным преобразованием переменных Jf1, Jf2,..., хп,
п п
Xh~ E zM^k ' ^A — E ThkXk> (7)
k=\ k—1
к следующему виду:
п п
0=2?,
A=I A = Г
где X1, Xs, ..., Xn—положительные числа, что вследствие определенности, фбрм UhT всегда возможно. Введя, соответственно формулам (7), в уравнения (6) вместо координат qv..., qn новые, так называемые нормальные координаты Jj1, —, г;л с помощью формул
Я я
Чн = X rIh = E *ыЯш, (7')
k'= 1 k = I
получим:
П И
T1=IM2A- "=E V2*.
A=I *=1
и уравнения движения преобразуются к следующему виду:
jJaH-VA = ^AW.
где
ArA W-=11^??
I
— „нормалвные координаты", внешней силы. В этлх уравнениях все координаты rlh, которые требуется определить как функции времени, друг от друга отделены.
Впрочем, часто целесообразно бывает дать понятию нормальных координат несколько более общее определение, понимая под ними такие 268
Проблемы колебаний
Гл. V
координаты, в которых выражения энергий имеют следующий вид:
п п
и= ItKni,
A =1 A =1
к
Jl с
А*
причем. в этом случае Xft -
В случае свободного движения Nh (t) = 0, и решение тотчас же получается в следующем виде:
"За =yh cos vft (Z—<рА) (? = /? (8)
= ah cos vftZ -f- 6ft sin VftZ (A = 1, 2,... , й).
Величины ah, bk или j/ft, <pft являются здесь произвольными постоянными интеграции. То свободное колебание, в котором все нормальные координаты, кроме А-й, — нули, между тем как движение А-й нормальной координаты дается уравнением Jjft=.yft cos vft (Z— <fft), называют А»м главным или собственным колебанием системы с амплитудой yh и фазой (f>ft. Если говорят просто о А-м главном колебании, то имеют в виду функцию Jjft=Cos vftZ, т.е. берут для амплитуды значение 1,а для фазы значение 0. Значения V1 называются числами собственных колебаний или собственными частотами или, пользуясь выражением, заимствованным из акустики, высотами тонов системы. Выражение А-го главного колебания в первоначальных координатах q'k можно получить, с помощью формул преобразования (7'), подставляя в них вместо . ijft значение tosvftZ, а вместо всех остальных j] значение нуль.
Всякое свободное движение системы есть наложение различных собственных колебаний с различными фазами и амплитудами. В 2п постоянных интеграции C1,____ ап, Ьг,____ Ьп мы имеем в нашем распоряжении ровно столько произвольных параметров, сколько требуется для трго, чтобы приспособить решение к произвольно заданному начальному-состоянию, т. е. к заданным начальным значениям координат и скоростей.
Для того чтобы формально представить решение этой задачи, объединим величины ^,___, qn в я-мерный вектор q. Обозначим через Є,
вектор с компонентами ти, тзг, ... ,Xnl (і= 1, 2, ..., п); тогда в силу формул (7') и (8) получим:
п
4(0 = h У І cos v/ V — tPi)'
V= і
Если начальное состояние охарактеризовать векторами q (0) и q (0), то эта форма общего решения для свободного движения немедленно приводит к уравнениям:
п \
CT (0)= XwosM' I
':1 [ (9)
Q(O)= X Wfsin W- I і =J ) §2
Системы с конечным числом степеней свободы
269-
Если дйя простоты принять, что форма G уже является единичной
п
формой G= У, X21, то „собственные векторы" Zi образуют полную ор-і
¦ґогональную систему векторов (ср. гл. I, § 1), и из (9) умножением на tft получаем следующие соотношения:'
eftq(0) = УН cos (Vfttpft),
Cftq(O)==VftVft sin (Vfft);
с их помощью можно определить амплитуды ун и фазы cpft.
Сделаем еще. следующее замечание: собственные колебания могут быть о гределены как такие движения системы, при которых отношения координат qk Друг к другу не зависят от времени, у которых, следовательно, qk имеет вид: qk = vkg (t), где Vk не зависит от времени. С помощью этой подстановки -немедленно приходим от уравнений (6) при PtZ=O к следующим уравнениям:
ZVb *=i _ g(t).
A eti
2.daikvH k = 1
Замечая,-что здееь в правой части стоит независящая от г и от г постоянная, которую обозначим через \, получим немедленно для квадратичных форм G и F задачу о собственных значениях, выраженную уравнениями:
п
1(btk —Iatk) Vk = 0 (1 = 1,2,...,я). k = і
