Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
J*= jjV(x*, у*, к*, «**, uyt)dx*dy* = j"j' Fdxdy,
о* 'а
где через G* обозначена область, пробегаемая точкой (х*, у*), когда точка (л:, у) пробегает область G.
1I Noether E., Invariante Variationsprobleme, Nachr. Ges. Gottingen (math, phys. Kl.), стр. 235—257, 1918. Дополнения и задачи к четвертой главе
249
Тогда, очевидно,
SJ = Ct =0,
и Mbj получаем согласно формуле, выведенной к предыдущем номере:
0-Ш^+ I ^x b^ +1 ^y »«> +
G
+1 {fЬх) ^ }dx dy' (io7) причем мы здесь полагаем, как и раньше:
* а \ Эа }а = о [ Эа / «=о ' [
б у = а
Ja=O ' J
(108)
и принимая во внимание формулу (105), мы получаем:
(109)
Так как. уравнение (107) имеет, по условию, место для любой области G, то подинтеграЛьное выражение в правой части этого уравнения должно тождественно обращаться в нуль, т. е.
+ LiVu^ Fbx) + TyiVu^ F°y)=0-
Соответствующие формулы получаются и для большего числа зависимых переменных. Так, например, если интеграл
j = U F(x, У, и, V, Ux, Vki Uy, vy) dx dy, 'g
остается неизменным при непрерывных преобразованиях:
х* = X* (х, у, и, v; а), у* = Y* (л, у, и, v; а), и* = U* (X, у, и, V, а), V* = 1/* (X, у, и, v, а),
то мы получаем:
\„ -J- TFl Mt -L-
Ьхк их
[F)uси + [F]vZv + A (F bu + FvJ,v + Fox) +
+ Iy (Fay ««И- Fvy bv + Fby)= 0, 250
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
где
= а (S) (U* + U" и* + U»v^bx -
6v^aUJ, (_(++vJ'-u-
--(^+ VuUy+ VuV-^y-
Эти формулы непосредственно распространяются на случай, когда искомые функции зависят только от одного независимого переменного или же от многих независимых переменных. Для случая одного независимого переменного мы получаем отсюда для экстремалей рассматриваемой вариационной задачи путем интегрирования первый интеграл:
F11I ои-\- Fv< hv -(- Fbx = Ca,
где С—произвольная постоянная,' а выражения Ьи, ov, Ьх являются известными функциями от X, определяемыми формулами, соответствующими формулам (108) и (109').
Проверим этот результат на примере
Xi
F(и, u')dx=min.
X0
Так как подинтегральное выражение не содержит в явном виде х, то оно остается неизменным при непрерывном преобразовании:
Х* = х-\-а, к* = «;
отсюда получается для экстремалей - интеграл: F—и'Fui = const, что совпадает с результатом, который был нами непосредственно уже выведен в § 4.
Если известно семейство преобразований, не изменяющих интеграла J и зависящих от нескольких параметров, то оно дает нам возможность получить столько же первых интегралов (для случая одного независимого переменного) или представить в виде дивергенций столько же линейно независимых комбинаций выражений Эйлера (для.случая многих переменных), сколько имеется параметров в данном семействе преобразований.
Все эти факты могут быть пояснены па примере интегралов диференциальных уравнений движения системы материальных точек. Траектории точек свободной системы задаются экстремалями проблемы:
SJ=S j (Т— U)dt = 0,
/о
где
T=--J^m (х* -f>-f г*), Дополнения и задачи к четвертой главе
251
а потенциальная энергия зависит только от взаимного положения материальных точек, т. е. не изменяется при таком изменении положения всей системы в целом, при котором сохраняется взаимное расположение точек системы друг относительно друга.
Рассматриваемый интеграл допускает поэтому, например, непрерывное преобразование:
t* = t, х? = х-\-а, у =у, Zil = Z
(так что St = by = OZ=O, bx=a) или преобразование вида:
t* = t, л:*= х cos а-{-.у sin о, у* = — х sin а -J- У cos a, Z^ = Z (так что bt = bz = 0, Ьх = ау, by = — ах).
Отсюда следует на основании предыдущего:
Ту = Уд тх = const, У, ІУ Tx —хТу) = ^^т(ху—.ух)-=const.
Эти интегралы вместе с четырьмя другими, получающимися из них перестановкой координат х, у, z, выражают закон движения центра тяжести и закон площадей.
Интеграл живой силы в случае, когда T и U не содержат в явном виде времени t, получается аналогичным образом на основании замечания, что интеграл
j (Т— U) dt
Iо
допускает в этом случае преобразование t' = t-\-a, ot = а.
(Подробнее см. Bessel-Hagen E., „Uber die Erhaltungsgesetze der Elektrodynamik", Math. Ann., т. 84, стр. 258—276, 1921.)
Если интеграл J не изменяется при преобразованиях, содержащих произвольную функцию р от независимых неременных X, у и ее производные до порядка If.
(д й'г 4 и, г», р (А-, у), -~р(х, у), . . . , р(х, .у)) ,
то отсюда следует тождественное обращение в нуль некоторой линейной комбинации выражений Эйлера и их полных производных до порядка k, т. е. уравнения Эйлера не являются независимыми между собой.
Простейшим примером является однородная форма простого интеграла:
h
J= j" y,'x,y)dt. 252
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
Этот интеграл не изменяется, если заменить /, x(t), у [t), k(t), y(t)
через
dx[t{xj\ dy LZ(T)]
Z(T), X [Z(T)], у [Z(T)],
dt ' dx
Отсюда следует, согласно предыдущему, что выражения Эйлера [^Jjc и связаны между собой соотношением:
