Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
2. Однородные и неоднородные задачи. Краевые условия. Задачи,. с которыми нам придется иметь дейо, состоят в том, что требуется найти функцию, удовлетворяющую, во-первых, некоторому линейнбму диференциальному уравнению и, во-вторых, еще дальнейшим условиям, а именно краевым или же начальным условиям (ср. гл. IV, § 10). Говорят, что задача носит однородный характер, если одновременно с решением и является решением и функция си, при» произвольном значении постоянного с. Для этого должно быть однородно не только диференциальное уравнение, но и краевое условие. Такие однородные краевые условия выражаются преимущественно условными равенствами, связывающими значения, принимаемые искомой функцией и и ее производными их, ... на границе Г рассматриваемой области G. Простейшим условием такого рода является и-=0, или
также == 0, где обозначает, по обыкновению, Диференцирование аП дп
по направлению внешней нормали.
Если функция и подчинена линейным неоднородным краевым условиям, состоящим, например, в том, что заданы (не всюду исчезающие) краевые значения и=/, то можно следующим образом притти к эквивалентной задаче с однородными краевыми условиями. Допустим, что дело идет об однородном уравнении L [а] =0 и что краевые значения / можно непрерывно продолжить внутрь области G таким образом, что L [/] = g становится в области G непрерывной функцией положения; в таком случае, для v==f—и получим . диференциальное уравнение L\v]=g с однородным краевым условием v=0. Если, наоборот, предложено неоднородное уравнение с . однородными краевыми условиями и известно одно частное решение неоднородного уравнения, то вычитанием получают задачу с однородным уравнением и неоднородными краевыми условиями. Можно вообще сказать: Однородное диференциальное уравнение с неоднородными краевыми условиями равносильно неоднородному диференциальному уравнению с однородными краевыми условиями,
3. Формальные соотношения. Сопряженные диференциальные выражения. Формулы Грина. Разберем вкратце некоторые формальные соотношения, касающиеся линейных дифереициальных выражений. При этом мы будем рассматривать преимущественно такие диференциальные выражения, которые, как в гл. IV/§ to, проистекают из вариационной, задачи с однородным квадратичным подъиитегральным. выражением, а именно так называемые самосопряженные диференциальные выражения.
а) Одно независимое п ер еме нн о е. Квадратичному выражению
Q [и, и] == аи'2 + 2Ьи'и -f du2,
где d, b,d — данные функции л:' а, а и (х) — функциональный аргумент, соответствует симметрическое билинейное выражение: Q [ц, v] '== au'v' Ь (u'V -f- v'u) -j- ^uvi Предварительные замечания
26S
так что выполняется равенство:
Q [и + и + V] = Q [и, и] -f 2 Q [и, v] + Q [v,'v].
Проинтегрируем выражение Q[u,v] в . интервале ^r0...Jfj: Интеграцией по частям можно освободиться от производных функции V, И МЫ получим „формулу Грина"
Xi Xi
J Q [и," v] dx = -г; J VL [и] dx-J- (au1 -f- bu) v
(2)
*0
Xe Xq
причем диференциальное выражение
L[u] = (au,),-\-(b,~d)u
с точностью до множителя—2 совпадает с эйлеровым диференциальиым выражениемtдля подъинтегральиого выражения Q[u,u],
Вследствие симметричности выражения, Q [и, v\ точно так же получим:
ЛГ, X1
J Q[u, v] dx = — ^uL If] dx + (av' -(-bv) и
Xq Xq
и из (2:) и (2') — симметричную формулу Грина:
X1
Xl
X0
J ^ VL [и] — uL [v] ^dx = a (u'v—v' v)
XQ
(2')
(2")
Xq
Если вместо симметрического билинейного выражения Q [и, v] исходить из произвольного билинейного выражения
В [и, v]=au' v' + bu'v -j- cuif -j- duv,
то с помощью того же приема—интеграции по частям — получатся формулы следующего вида:
Xi X1.
J В [и, v] dx = — J vL [u] dx!-}- (au' -J- си) v
XQ
Xi Xo
, UM [v] dx-{- (av' f bv) U
X1 ^
Xq
(3)
-"1
J L [и] — и Aff^lj dx == [a (u'v — v'u) -J- (c — b)u v]
Xq
Xi
Xq
(4)
Диференциальное выражение
M M == (av')' -j- (bv)' — Ctf — dv взаимно однозначно определяется диференциальиым выражением-L [к] = (ац'У — Ьи} + (си)' ^ 'du 264
Проблемы колебаний
Гл. V
с помощью требования, чтобы интеграл на левой, стороне формулы (4) выражался только через значения функции и ее производных на границе. Оба эти выражения называются взаимно сопряженными. Если L[u]=M\u\ тождественно, то диференциальное выражение L[u\ называется самосопряженным; его можно вывести-, как это сделано выше, из некоторого квадратичного выражения Q [и, и].
Если исходить из диференциального выражения
ри" -f- ru1 -Jr qu,
то для сопряженного выражения получается:
(pv)"—(rvy + qv,
а отсюда вытекает, что необходимым и достаточным условием того чтобы диференциальное уравнение было самосопряженным, является выполнение соотношения:
р>=г.
С помощью соотношений а=р, b' — d = q можно товда для выражения (ри')' -\- qu построить соответствующее квадратичное выражение Q\и, и] разнообразными способами.
Посредством умножения на. подходящий не исчезающий множитель р(х) можно любое линейное диференциальное выражение ри" -f- ru + qu превратить в самосопряженное; надо лишь положить
