Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. Заменим в U производную и" (х) через—М(х).
'2. Умножим, уравнение M (х)и", (х) 0 и уравнения (120) на произвольные множители и, проинтегрировав уравнения >.(M"-J-^) == 0 и р (М-\-и")=0, прибавим полученные интегралы к выражению U.
3. Приравнивая нулю вариацию составленного таким путем выражения, мы получим ряд уравнений, из которых мы можем выразитьг произвольные множители через М. Заменяя в вариируемом выражении произвольные множителгі их найденными значениями, мы получим выражение, равное взятий со знаком минус „работе деформации":
-M
И
M2 (x)dx,
так что задача сводится к нахождению минимума этого интеграла, причем допустимыми функциями' сравнения являются функции M (х), дважды непрерывно диференцируемые внутри каждого из промежутков (—/, 0) и (0, /) и удовлетворяющие добавочным условиям (120).
Из этих добавочных условий можно определить функцию M (х) с точностью до одной произвольной постоянной интегрирования (например одной из реакций в подпертых точках или момента в точке закрепления), и данная вариационная проблема сводится к обыкновенной задаче иа минимум для определения этой постоянной.
Из предыдущего ясно, какой вид принимает это преобразование в случае других условий в отношении нагрузки и точек опоры балки; при этом, очевидно, принцип Кастильяно имеет смысл только тогда, когда число условий, касающихся точек опоры и закрепления балки, больше двух, т. е. в „статически неопределимых случаях", ибо в противном случае момент М(х) однозначно определяется уже с помощью одних только естественных условий задачи.
15. Вариационная задача о продольном изгибе стержня Если на оба конца стержня действует в продольном направлении сжимающая сила Р, то стержень может находиться в состоянии либо устойчивого, либо неустойчивого равновесия, т. е. при небольшом боковом изгибе стержень либо возвращается снова в свое первоначальное поло-
17 Курапт-Гальберт. 258
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
жение равновесия, либо он „искривляется", в -зависимости от того, меньше ли сила P некоторого верхнего предела P0 или нет. Этот верхний предел P0 называется „критической силой". Если Р<Я0> то по" тенциальная энергия стержня имеет в состоянии равновесия минимальное значение, по сравнению с достаточно малыми изгибаниями; при Р~^>Р0 потенциальная энергия стержня в состоянии равновесия не обладает этим свойством минимума.
Если длина стержня в состоянии равновесия равна единице, то, обозначая боковой прогиб стержня через U (X) (О =S Jt Sg /), мы получим, что потенциальная энергия стержня увеличивается при этом на величину, равную с точностью до постоянного множителя, зависящего от материала стержня, выражению:
і
?/= J (и")2 dx —P J (и'У dx.
о о
Первый член выражает энергию, изгибания, второй — потенциальную энергию удлинения (как у нити).
Для достаточно малых значений силы P1J при граничных условиях. и (0) = и (Z) = 0 минимум энергии U равен нулю. Но если P достаточно велико, то U может принимать отрицательные значения; для этой цели достаточно для любой допустимой функции и выбрать P так, чтобы
Ku'Vdx
Р>Т-•
1(иГ dx о
Таким образом критическая сила P0, т. е. максимальное значение силы Р, при котором минимум U еще равен нулю, может быть определена как минимум выражения:
J (u")2 dx
и_
I
f (a')2 dx о
при граничных условиях: к(0) — и(Z) = O или же, что этому эквивалентно, как минимум интеграла:
і
j (u"f dx о'
! і і) Например при P < -р ; в самом деле, так как J и'tlx = 0, то имеется точка x0,
и
для которой h1(x0) = O; тогда
X Jll
и' (X) = J u"dx, (и')* < / J (u"? dx, f (и')г dx H J (и")2 dx.
X,. "О D §11 Дополнения и задачник четвертой главе 259
при добавочном условии J (и')2 dx = 1 и граничных условиях и (0) =
о
= U(I) = O.
Мы называем число P0 = X первым собственным значением диференциального уравнения:
и""+ Iu"= 0
с граничными условиями и(0) = и(1) = 0, и" (0) = и" (I) = O.
Такого рода задача собственных значениях и .' способы их решения с помощью методов вариационного исчисления будут нами рассмотрены в ближайших двух главах.
Литература к главе IV.
Более подробные указания относительно литературы по вариационному исчислению можно найти в прекрасной библиографии Лека (Lecat):
Lecat M., Bibliographie du calcul dts variations, 1850—1O13, Gand-PariS 1913. Lecat M., Bibliographie du calcul des variations depuis Ies origlnes jusqu'a 1850 comprenant Ia liste des travaux, qui ont ргёрагё се calcul, Gand-Paris 1913. Мы приведем здесь лишь наиболее важные учебники.
Учебники и систематические обозрения. Немецкое {!здание энциклопедии математики. Статьи:
Kneser A., Variationsrechnung, т. 2 А, статья 8, стр. 571—625. Доведена до 1900 г.
Zermelo Е. und Hahn H., Welterentwicklung der Variationsrechnung In den letzten Jahren, т. 2A, статья 8a, стр. 626—641. Доведена до 1904 г.
Hetlinger E., Die allgemeinen Ansatze der Mechanik der Kontinua, т. 4D, статья, 30", стр. 601—694. Доведена до 1913 г.
