Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
4. Задача Дидоны состоит в том, чтобы отрезать участок возможно большей площади, граница которого имела бы заданную длину. Требуется решить об^щенную задачу, предполагая, что почва рассматриваемого участка земли не всюду равноценна, но плодородность почвы является некоторой функцией места р (лг, у). Поэтому речь идет о нахождении наибольшего значения интеграла ^ р dx dy, распространенного по
'о
участку, «окруженному линией заданной длины. Составить диференциальное ' уравнение экстремалей. 16* 244
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
5. Пример пространственной" вариационной задачи. Шар является той замкнутой поверхностью, которая имеет наименьшую площадь по сравнению со всеми поверхностями, зймыкающимн тот же объем (см. указания у Blaschke W., „Kreis und Kugel, Лейпциг 1916).
Если требуется найти поверхность наименьшей площади,'ограниченную заданной линией и замыкающую вместе с некоторой заданной поверхностью, проходящей через ту же линию, данный объем, то в качестве экстремалей получаются поверхности постоянной средней кривизны. Если отбросить последнее условие относительно объема, то мы получим выведенное уже в § 3, 4 диференциальное уравнение минимальных поверхностей:
(1 +4) zxx—2zJffxy +(l + г2х)гуу= О,
которое выражает обращение в нуль средней кривизны.
6. Из о п Є р и м етр и ч ее ая задача на кривой поверхности имеет экстремалями кривые постоянной геодезической кривизны (ср. Biaschke W.. „Vorlesungen uber Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitatstheorie11jT. 1, изд. 3, стр. 154—155, Берлин 1910).
7. Индикатриса и ее применения1). При рассмотрении
задачи нахождения экстремума интеграла \ ^ (лг, у, х, у) dt (где
J 'о
является положительной однородной функцией первого измерения относительно X и у) вводят кривую
&(*¦> У, S, ч)=
где ? и ї) мы считаем прямоугольными координатами точки на плоскости S1 ї), a X1 у являются постоянными параметрами.
Эта кривая называется индикатрисой („Eichkurve"). С помощью этой кривой можно геометрически истолковать много важных соотношений. Соответственным образом, для пространственной задачи рассматривается в качестве индикатрисы поверхность У, z, 5, т), С) = 1 („Eichflache") в пространстве 5, т), Направление by) трансверсально к направлению (х, у), если
%хЪх + 8^=0.
Но уравнение касательной к индикатрисе в точке имеет вид:
Таким образом трансверсальное направление совпадает с направлением касательной к индикатрисе в точке пересечения индикатрисы
О См. Carathdodory С., Uber die starken Maxima und Minima bei einfachen Integralen, Math. AnriaIen, т. 62, стр. 449—503, 1906. Дополнения и задачи к четвертой главе
245
с лучом, соединяющим начало координат с точкой х, у. Поэтому, если мы спросим себя, для каких проблем трансверсальность совпадает с ортогональностью, то мы получим, что индикатриса должна пересекать в этом случае под прямым углом лучи, выходящие из начала координат, т. е. она должна быть окружностью с центром в начале координат. В силу однородности функции % мы получаем отсюда, что
8 (X, у, X, у) = W (X, у) V X2 + j;2.
Далее, для того чтобы соотношение между направлением экстремали и трансверсальным направлением было симметричным, необходимо, чтобы индикатриса обладала следующим свойством: если провести через начало Координат О прямую, параллельную касательной к индикатрисе в точке Р, то касательная в точке пересечения индикатрисы с этой прямой должна быть параллельной лучу OP.
Рассмотрение индикатрисы оказывается особенно полезным для исследования ломаных экстремалей, т. е. экстремалей, имеющих в некоторой точке (xv ул) угловую точку. Спросим себя, когда может дать экстремум линия, состоящая из двух дуг, из которых одна соединяет точку (х0, у0) с точкой (X1, 'уг) и имеет в последней точке направление (х~, а другая идет от точки (X1, ^1) до точки (X2, у2) $ имеет в точке (X1, _у,) направление (х+, у+). Вдоль тех кусков кривой, вдоль которых она имеет непрерывно вращающуюся касательную, кривая должна, как всегда, удовлетворять уравнениям Эйлера. Чтобы получить
УСЛОВИЯ Экстремума, КОТОрые ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНЯТЬСЯ'В УГЛОВОЙ ТОЧКе (Xj, J/j),
включим нашу экстремаль в семейство линий
У V) + Sri(^)1
имеющих при ( = I1 угловую точку, где S (t) и J] (t) непрерывно дифе-ренцируемы и обращаются в нуль на концах. Составим теперь - первую вариацию, т. е. продиференцируем по ? и положим ? = 0. Если мы это проделаем для каждой из двух дуг экстремали в отдельности, то остаются только члены, содержащие вариации координат угловой точки (X1, Jz1).. Внешние члены, содержащие вариации координат концов (х0, v0) и (х2,у2), обращаются в нуль, если считать - эти концы неподвижными, а оба интеграла исчезают в силу экстремального характера обеих дуг.
Таким образом остается уравнение:
^?)? (xv vi- *г. .уг)+г(у*, *г> к)—
— Уг, X+, у+) — T1(I1) (X, у, X+ у+) = 0,
и так как S(Z1) и Tj(Z1) произвольны, то мы получаем отсюда условие Вейерштрасса-Эрдмана для угловых точек:
