Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Уі> ХГ> УГ) = гУх(хі, Уі> X+, .у+), Уі, *г, = Уі' xt> Уі)> т. е. касательные к индикатрисе в точках пересечения индикатрисы с векторами (х~, j>j~) и (х+, J/+) должны совпадать.246
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
Обе касательные к экстремали в угловой точке направлены параллельно лучам, соединяющим начало координат с точками касания двойной касательной к индикатрисе.
8. Вариация интеграла с переменной областью интегрирования. Если в интеграле
Xi
J = ^F(x, и, u')dx
Xq
вариирует не только функция и, но и пределы интегрирования х0 и Xv зависящие от некоторого параметра є, то в выражении первой вариации "интеграла сверх обычных членов появляется еще дополнительный член" обусловленный вариацией области интегрирования, и вариация имеет, в этом случае следующий вид:
Xl
U= J {[F]Ju + (FJ«)'} dx+(Fbx:)%, (103)
Xq
где
OU :
a [/iJn означает выражение Эйлера для функции F.
Аналогичная формула имеет место и для случая двух измерений, (а также, разумеется, для большего числа измерений), когда область интегрирования G вариирует и зависит от параметра є. Чтобы вычислить вариацию интеграла
J = JJ F(x, У, и, их, иу)dxdy,
представим себе, что вариирующая область G*, изменяющаяся в зависимости от параметра г, может быть отображена на первоначальную область G с текущими координатами х, у с помощью одно-однознач-иого и непрерывно диференцируемого преобразования:
х* = Х(х,у;г), \
У*=Г(х,у;є), f {1т)
содержащего параметр s и совпадающего при S = 0 с тождественным преобразованием ху' = х, у* =у. В области G* пусть точке (**, у*) соответствует новое значение функции и*=и*{х*,у*; є), и пусть и-выражается через первоначальные переменные функцией:
u*=U(K,y;s). (104')
Таким образом имеет место соотношение:
и*(Х, У;г) = и(х,у; є).
В семействе поверхностей и*(х*,у*; г), отдельные члены которого задаются уравнениями (104), (104') при постоянном ? в параметрическомДополнения и задачи к четвертой главе
247
виде с "Параметрами х, у, содержится и наша исходная поверхность и (л:, у) при S = 0.
Составим теперь интеграл
J(s) = f j'f[x*, у\ и* (X*, у*; s), и(**, у*: ?), и*, (х*, у*; ?)] dx* dy*
Ф
и преобразуем его в интеграл, взятый по постоянной области О, путем введения X, у в качестве независимых переменных. Мы получаем :
j (S) = ЭД F [.X, Y\ и* (X, Y; ?), (X, Y; ?), и^ (X, Y; ?)] dx dy
Мы должны теперь составить вариацию, диференцируя по ? и приравнивая t нулю. Введем для удобства следующие обозначения:
bu = s{^'^\ =t I*<x-Yi*A
\ йє /е= О V ds /е = о'
= -J3 = O : -^-Js=O-
Мы получаем т-огда:
ZJ= Jj [FJx -f FyIyJr FJu -j- FaJux-f FllJuy+F(bx)x-\- F(by)y} dxdy. 'о
Изменим вид этого интеграла, выразив предыдущие вариации функций и*, обусловленные одновременным вариированием величин х, у иг, через вариации этих фуикцнй при неизменных х и у, т.е. через вариации
ои
= S (~t?*(x, У> s)js = o,
где черта над знаком вариации означает, что изменяется только параметр ?, тогда как х и у остаются неизменными.
Вариация функции и ири вариировании независимых переменных связана с вариацией Ьи соотношением;
Ьи = Ьи -f ихЬх иуЬу. (105)
Таким же образом
Ьих = (Ьи)х -t- ихх Ьх + иху оу, Ьиу=(Ьи)у-\-иухЬх + иууЬу.
Введя эти выражения в bJ, мы получаем:
8J= jj {[FJa Ьи + (.Fttx Ьи\х + (Fuy Ьи)у + (FSx), -f (Fby),,} dx dy.248
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
или
or г
где п означает внешнюю нормаль, a s — длину дуги границы Г области G. (Последнее выражение для 8 J легко, впрочем, вывести непосредственно геометрическим путем, разлагая вариацию интеграла J на две части: одну часть, обусловленную вариацией интеграла при неизменной области интегрирования, и другую, вызываемую исключительно вариацией области; при этом вариацию области можно определить с помощью смещения точек границы, и при вычислении вариации интеграла J можно допустить, что вектор смещения п направлен по нормали к границе, а Bess Ъх , > йу
личина нормального смещения ол: -—(-{у- пропорциональна числу ?
ой о U
и зависит от смещаемой точки границы.
9. Теоремы Э. Нетер (Е. Noether) относительно инвариантных вариационных задач. Интегралы дифереициальных уравнений механики1). Рассмотрим преобразование:
х* = Х*(х, у, и; а), У* = У*(х, у, и; a), J- (106)
гг
і \Л, у, и, и;, I
¦ U* (х, у, и; a), J
зависящее от непрерывно изменяющегося параметра а. Всякой поверхности и = и(х, у) приводится при этом в соответствие семейство поверхностей и* = «*(**, у*; а), зависящее от а и задаваемое в параметрическом виде (с параметрами х, у) уравнениями:
X* = X* [х, у, и (х, у); a] = X(х, у; а), у*== Y* [х, у, и (лг, у); а] = К(лу, а), u*=U*[x, у, и (х, у); а] = U(х, у; а).
Нулевому значению параметра а пусть соответствует тождественное преобразование.
Допустим, что при преобразовании (106) интеграл
J — Jj1 F{x, У, хх, иу)dxdy,
G
не изменяется, т. е. пусть для всякой области G имеет место равенство: