Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Вынужденные движения. Движение струны с закрепленными концами под влиянием произвольной внешней силы Q (х, t) получается из неоднородного диференциального уравнения:
uXX=uU-QM- 06)
Для решения этой задачи представим себе, что функция Q (х, t) в момент времени t разложена по фундаментальным функциям sin пх:
OO
Q (*><)= Xt^W sin«*,
п = 1
2 Г
Qn (t) = — I Q (х, t) sin пх dx ,
о
и решение будем искать в таком же виде:
со
u(x,t)= (t) sinnx,
п = 1
2 Г
qn (t) = — їй (X, t) sin пх dx.
Диференциальному уравнению (16) мы попытаемся удовлетворить, решая бесконечную последовательность обыкновенных дифереициальных уравнений: •
- п2 InV) -QnW- (17)
Общими решениями этих уравнений являются функции: і
qn (t) == -IJ sin n(t — ё) Qn (if) dt' + an cos nt -f bn sin nt (17')
о
с произвольными постоянными an, bn (ср. стр. 269). Постоянные an, bn должны быть определены по начальным условиям, так что— предполагая сходимость ряда и его почленную диференцируемость — сумма
^qn (t) sin пх
п
представляет,требуемое решение уравнения (16). «з
Колебания струны
275
Другой путь к решению неоднородного уравнения будет развит в § 5, 2 и § 14, 1 в более общем аспекте.
В задаче о вынужденных движениях можно избежать пользования теоремой о разложении. Для этого рассматриваем величины Qn(t) и qn(t) как коэфициенты Фурье функций Q(x, t) и и (х, t), определенные вышеприведенными равенствами — существование этого решения при этом предполагается, — и ставим себе задачей определение величин qn (t) через величины Qm (t). Умножая уравнение (16) на sin плг и интегрируя затем по основной области, после преобразования левой стороны интеграцией по частям тотчас получим (17) и отсюда опять формулу (17'). Вследствие полноты ортогональной системы функций Sin пх функция и (дг, і) однозначно характеризуется полученными таким путем коэфицирнтами Фурье.
Как и в §2, особенный интерес представляет опять случай, когда Qn (J)—чисто периодические функции:
Qn (t) = а cos fat + b sin wt.
В этом случае, если <о2 ф л2, функции qn (Z) составляются аддитивно из чисто периодической функции частоты (о и такой же функции частоты п, при наличии же резонанса со2і= и2 функция qn(t) является неограниченной (ср. стр. 270).
Обстоятельства, имеющие место у однородной колеблющейся струны, типичны для более общих непрерывных колебательных систем, которые составляют предмет дальнейших исследований этой. главы. Существенными моментами являются при этом нахождение собственных колебаний, полнота системы этих колебаний и теорема о разложении. Однако в этих теоремах, в отличие от случая однородной струны, мы не сможем ссылаться на готовую теорию, наподобие теории рядов Фурье. Доказательства их, чтобы не прерывать хода мысли, приведем впоследствии, — в§ 14.
3. Общий случай неоднородной струны и задача Штурм-Лиувилля. Рассмотрим теперь общий случай неоднородной струны:
(PuJx=Putt»
где р(х) — модуль упругосш, помноженный на площадь поперечного сечения, а р(х) обозначает массу, отнесенную к_единице длины. Задача состоит в том, чтобы найти решения этого уравнения, удовлетворяющие известным однородным краевым условиям. Пытаемся найти решение в форме u = v (x)g(t) и при этом предположении приходим непосред-венно к уравнению:
(ръ'У :vp = g:g,
которое может выполняться лишь в том случае, если каждая его сторона равна одной и той же постоянной величине — X. Для функции v(x) получается тогда диференциальное уравнение:
(/то')'-}-Хрг/ = 0, (18)
а функция g должна удовлетворять диференциальному уравнению g 4" lg— 0. Если положить X — V2 (что отрицательных значений X рас-18* 276
Проблемы колебаний
Гл. V
сматривать не приходится, вскоре выяснится само собой), то и примет следующий вид:
и = V (Jt) (acos \t + osinvt),
причем функцию V (х) придется определить из диференциального уравнения (18), в согласии с краевыми условиями. Как и в частном случае однородной струны, возникает задача об определении тех „собственных значений" \ диференциального уравнения (18), для которых существует не исчезающее тождественно решение, удовлетворяющее краевым условиям. Это решение' называют собственной или фундаментальной функцией, принадлежащей собственному значению оно определяется лишь с точностью до произвольного постоянного множителя.
В качестве краевых условий для начальной и конечной точки прежде всего напрашиваются каждый из следующих типов *):
1. V (O) = O и г>(тг) = 0 (закрепленная струна);
2. A0 V (O)=Df(O) „ — A1D(Tt) = Zff(Tt) (упруго связанный конец);
3. Df(O) = O „ Df(Tt) = O (свободный конец)
или условие
4. D(O) = D(TT) и p(0)of(0) = p(n)D'(TT),
которое в случае p(0)=p(tt) можно рассматривать как условие периодичности.
Сообразно с физическим смыслом нашей задачи мы будем предполагать в дальнейшем, что функции р и р положительны при 0 =? X 8? Tt. Затем, числа A0, A1 должны быть положительны, если положение покоя есть положение устойчивого равновесия 2).
Формулированная таким образом задача о собственных значениях носит название задачи Штурм-Лцувилля (Sturm-Liouville), по имени ее первых и плодотворнейших исследователей. Ее можно еще несколько обобщить, рассматривая вместо уравнения (18) диференциальное уравнение:
