Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
2. Инволюционное преобразование простейшей вариационной проблемы. Аналогичные рассмотрения приводят нас к преобразованию вариационных проблем. Основой этих преобразований служит следующий общий принцип, аналогичный принципу, формулированному в п. 1: Если функционал J[u,v,___] при заданных условиях
непрерывности и добавочных условиях достигает стационарного значения для некоторой системы функций и, v,___и если эта система функций удовлетворяет некоторым заданным соотношениям, то функционал J остается стационарным для этой системы функций также и в том случае, если одно или несколько из этих соотношений заранее присоединить к добавочным условиям проблемы.
Соотношения, получающиеся путем приравнивания нулю вариации функционала, т. е. уравнения Эйлера и естественные граничные условия, мы будем называть естественными условиями, а добавочные или граничные условия, входящие в состав условий1 задачи, назовем предварительными условиями. Тогда из нашего принципа следует, что если для какой-нибудь вариационной проблемы присоединить одно или несколько из соответствующих естественных условий к предварительным условиям задачи, то стационарный характер рассматриваемого выражения сохраняется и для новой проблемы.
Рассмотрим сначала проблему простейшего типа:
Xi •
I. Найти стационарное значение интеграла J=[ F (х, и, u')dx при
X0
обычных условиях непрерывности и граничных условиях:
и(х0)—и0 = 0, u(x1)-u1 = O
(80)
и с добавочным условием
(81)
Мы рассматриваем, таким образом, с самого начала нашу вариационную проблему как проблему с двумя неизвестными функциями и и и', удовлетворяющими диференциальному уравнению (81), рассматриваемому§9
Приведение вариационных задач
225
как добавочное условие. Правило множителей Лагранжа показывает, что решения задачи I являются в то же.время решениями следующей задачи: II. Найти стационарное значение выражения:
H [и, и' X; JX0, р.-,]
'+»(а-*
+ JAjK(AT1)-K1],
dx— P0 И*о) —«о] +
где неизвестными являются функции и(х), и'(х), 1 (х) и параметры JJi0 и JA1, причем в этой новой проблеме на искомые функцииt не. налагаются никакие граничные и добавочные условия. Условия обращения в нуль первой вариации, т. е. диференциальные уравнения Эйлера и естественные граничные условия имеют для нашей задачи следующий вид:
Fal-X = O, (81)
Fu-^=O, (83)
dI--Uf = O (84)
dx
для внутренних точек интервала и
X (х0) +JA0 = O, X(X1)H-JA1 = O (85)
K(X0) — к0=0, K(X1) — U1 = O. (86)
для концов интервала.
Эти уравнения получаются непосредственно путем приравнивания нулю первой вариации. Если исключить из этих уравнений X, JA0, P1, то мы" получим, разумеется, диференциальное уравнение Эйлера для функции к (х).
Присоединяя к задаче II на основании нашего общего принципа условия ^—и' = 0; и(х0) — K0 = O, K(X1)-K1=O в качестве предварительных условий, мы снова вернемся к задаче I. Если же мы введем в качестве таких предварительных условий уравнения (82), (83), (85), соответствующие естественным условиям проблемы I, то мы получим преобразование, открытое только в самое последнее время Фридрихсом (Friedrichs) и имеющее большое значение для применений вариационного исчисления 1J.'''Получающаяся таким путем задача III может быть формулирована в таком же виде, как и задача I, если путем интегрирования по частям устранить из подинтегрального выраже-
du
ния интеграла H производную и ввести затем новые переменные р, р' и новое подинтегральное выражение 1P (х, р, р') с помощью уравнений: Fu' = Р, Fa=jf, ри' -j- р'и — F=4*. (87)
J) Friedrichs К.,, E'n Verfahren der Variationsrechnung (Об одном приеме вариционного исчисления), Известия Научного Гёттингенского общества (Nachrichten der Ges. d. Wiss zu Oottingen), 1929, стр. 13—20.
15 Курант- Гильберт.226 Основные нонііТия вариационного исчисления Гл. IV
Для того чтобы это преобразование (так называемое преобразование Лежандра) имело смысл, мы должны предположить, что из первых двух уравнений можно выразить к и и' через р, р' и xf полученные значения и к и' мы должны подставить в левую часть последнего уравнения. Это условие будет выполнено, если
Fи'и' Fllu (Zw)2^O (88)
для всех рассматриваемых значений х, и и и'.
Мы получаем таким образом эквивалентную задаче I задачу 1J IV. Найти стационарное значение выражения
X1
— ^1P (х, р, р') dx -f р (X1) U1-р (X0)Uj
X0
dp ,
при добавочном условии ^—р' = О, не ставя никаких граничных условий.
Естественные условия проблемы IV гласят: для внутренних точек интервала и
1IV1U1-«а = 0
на концах интеграла. Согласно нашему общему принципу, с помощью которого мы преобразовали задачу I в задачу IV, эти естественные условия должны совпадать с предварительными условиями проблемы I. В самом деле, это непосредственно следует из того, что преобразование обратное рассматриваемому преобразованию Лежандра задается уравнениями:
iV = w1 jPp = k', upr-I-u1p-W = F.
Из этих же формул следует далее, что применяя преобразование Фридрихса к задаче IV, не содержащей, граничных условий, мы снова вернемся к ^сходной проблеме I. Это преобразование обладает, таким образом, инволюционным характером и преобразовывает естественные условия одной проблемы в предварительные условия другой.