Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
дХ ду
приходим, применяя правило множителей Лагранжа, к задаче II: Найти стационарное значение выражения:
P(s) [к— f[s)]ds.
і
г
При этом \(х, у), Ji (х, у) и p(s) являются множителями Лагранжа. Преобразовывая двойной интеграл путем интегрирования по частям, мы по-приведем проблему II к следующему виду:
fu^+rt-.^+g)-*-»]«»*+ G
-j- J и ^ I ~ -J- Ii~ — р (5) j + P (?) f(s) j ds -- стационарному значению, г
При этом означает диференцированне по внешней нормали, а ц дИ
обозначает, как обычно, граничные значения функции и.
Составив уравнения Эйлера и уравнения, выражающие естественные граничные условия этой задачи, присоединим следующие из них« 232
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
к предварительным условиям задачи в качестве добавочных условий: р — 1= О, q — JX = O,
ЙХ . йр . тк. Jy .
Эх йу= ^ +
мы получаем тогда следующую эквивалентную задачу III:
--^ j (р2 4- q-)dx dy -j-J р (s)/ (s) ds = стационарному значению,
G г
с добавочными условиями:
-йх -йу P(s)-p--q-n=0
на границе и
йх~йу
_ внутри области. Этим произведено преобразование Фридрихса.
Мы упростим проблему, если заранее удовлетворим второму добавочному условию, введя функцию v(x,y) с помощью уравнений:
р =
Тогда
— йх ,- йу_Sf
Р йй ' q дп ~ds'
где ^ означает производную .от граничной функции v .по направлению
йS
положительной касательной к Г, и наша задача переходит в задачу IV: j" j [ (ё) + (I)2] dX d)> + j Ysf(s) ds ста«ионаРномУ зна-
G Г
чению.
Входящий в это выражение криволинейный интеграл можно, впрочем, легко преобразовать с помощью интегрирования по частям в интеграл
— ^vf (s) ds. г
Эта новая задача имеет под знаком двойного интеграла подинтег-
ральное^ выражение такого же типа, как и проблема I. В то время как
решение проблемы I дает функцию, удовлетворяющую уравнению потен-
. й2и . й2к л циапа Д « = — -(- —= 0 и имеющую на границе заданные значения
f(s),, вторая задача дает также потенциальную функцию, которая в силу Вариационное исчисление
233
естественных граничных условий является потенциальной функцией, сопряженной СИ.
Наконец, чтобы убедиться в том, что минимуму выражения, рассматриваемого в задаче I, соответствует численно ему равный максимум выражения, рассматриваемого в задаче IV, прощ^, всего поступить так: вычтем из интеграла, PaccMaTpHBaeMorof в задаче I, выражение, рассматриваемое в задачё IV, и с помощью очень простого преобразования представим эту разность в виде:
g
Задачи I и IV, взятые вместе, эквивалентны, задаче нахождения минимума этого последнего интеграла при единственном граничном условии и =f(s). Но минимум этого интеграла равен нулю, и он достигается, если функция и является решением соответствующей краевой задачи теории потенциала, а функция v — сопряженной с и потенциальной функцией, так как функции и и v удовлетворяют диференциальным уравне-
Ъи Ъо Ъи _ .
нням = -— , — = —4 г-. Отсюда следует, что между задачами I й* Ъу ^y Ъх
и IV существует формулированная выше зависимость.
§ 10. Вариационное исчисление и диференциальные уравнения математической физики.
1. Общие соображения. Вариационное исчисление является надежнейшим средством при выводе и исследовании диференциальных уравнений математической физики. Если идет речь о задачах (устойчивого) равновесия, то*можно положить в основу вариационный принцип минимума потенциальной энергии, тогда как законы процессов движения проще всего формулируются с помощью вариационного принципа Гамильтона. Мы займемся в этом параграфе формулировкой важнейших типичных проблем теории диференциальных уравнений математической физики, исходя из названных двух вариационных принципов.
Рассмотрим сначала систему с конечным числом п степеней свободы. Пусть положение системы определяется значениями п параметров qv q2,..., qn. Требуется выразить эти параметры в виде функции от времени t. Представим себе, что механические свойства системы заданы, с одной стороны, с помощью кинетической энергии этой системы Tiql,..., qn, .., qn, t), которая является функцией от п скоростей q{, п координат qt и времени t и притом квадратичной формой относительно скоростей:
п
т= X --.fi.» О01?, i, k = 1
и, с другой стороны, потенциальной щнергией системы U(?,..., qn, t), которую мы считаем'функцией от qv q2,.. .,qn и t. Принцип Гамильтона 234
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
гласит так: В течение промежутка времени между моментами t0 и tt движение системы происходит так, что функции qt(f) делают стационарным интеграл h
J=^(T-U) dt
to
по сравнению с такими достаточно близкими функциями ql(t), для которых ql(t0) = ql(t0) и ql(t1) = q{(t1)- Или другими словами. При действительном движении интеграл J имеет стационарное значение по сравнению со всеми достаточно близкими возможными движениями, при которых система в течение заданного промежутка времени перемещается из того же, начального положения в то же самое конечное положение, как и для действительного движения.
