Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Согласно § 3 принцип Гамильтона непосредственно приводит к общим уравнениям движения Лагранжа:
Предполагая, что T и U не содержат в явном виде t,. мы получим из этих уравнений движения условия равновесия, приравнивая нулю в уравнениях (91) все производные по времени. Мы получаем:
^=O (г = 1, 2,..., я), (92)
т. е. механическая система с потенциальной энергией U(qlt qv..., qn) находится в равновесии для некоторой системы значений координат qlt q2,...,qn тогда и только тогда, если при этих значениях координат потенциальная энергия имеет стационарное значение.
Для устойчивости равновесия является сверх того необходимым и достаточным, чтобы функция U достигала минимума при соответствующих значениях координат. Этот факт можно доказать, исходя из уравнений движения; мы, однако, предпочитаем рассматривать это положение как независимый постулат и класть его в основу при исследовании проблем равновесия.
Особенно простым характером обладает движение системы в том случае, когда процесс движения протекает поблизости от положения устойчивого равновесия системы. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что это положение равновесия характеризуется обращением в нуль всех координат qt.
Рассматривая только такие состояния движения, при которых система, остается настолько близкой к положению равновесия, что мы можем пренебречь высшими степенями координат и их производных по времени, и предполагая, что T и U не содержат в явном виде t, мы можем считать T определенной положительной квадратичной формой относительно q( постоянными коэфициентами alk:
п
T= S .
І, Ь зі Вариационное исчисление
235
и точно так же мы можем рассматривать U как определенную иоложи-тельну юквадратнчную форму относительно qt с постоянными коэфициентами blk:
п
U== H bIk Ь Як-t, к
Уравнения движения переходят тогда в систему линейных дифереициальных уравнений второго порядка с постоянными коэфициентами:
п п
S aIkVk+ ? bIkVk = 0' k = 1 k = 1
которым подчиняются „малые колебания" около положения устойчивого равновесия и которые будут исследованы нами в следующей главе.
Точно таким же образом мы будем исходить из принципа Гамильтона и соответственно из принципа минимума потенциальной энергии и при исследовании систем, рассматриваемых в механике непрерывно распределенных масс, положение которых уже не определяется с помощью конечного числа координат. Здесь потенциальная и кинетическая энергии уже не являются функциями от конечного числа переменных и их производных, но выражаются интегралами, распространенными по объемам, поверхностям или линиям, по которым распределены рассматриваемые системы.
2. Колебания струны и -стержня. Простейший пример дают колебания однородной струны (или нити), которая в положении покоя (соответствующем состоянию устойчивого равновесия) совпадает с отрезком OsgxsS/ оси X и которая находится под действием постоянного натяжения Ji и может совершать небольшие поперечные колебания около положения равновесия. Обозначим через и (к, і) отклонение точки струны от ее положения равновесия, равное расстоянию этой точки от оси х. Это отклонение и (х, t) и будет искомой функцией от двух независимых переменных X и /. Мы предполагаем, что колебания струны настолько малы, что мы можем пренебрегать более высокими степенями функции и и ее производных по сравнению с более низкими степенями. Допустим сначала, Что концы струны закреплены, т. е. пусть и (О, t) = u (/, ^) = 0. Кинетическая энергия струны задается интегралом
і
Afp u*dx=T, о
где р означает линейную плотность струны. Потенциальная энергия и пропорциональна растяжению струны, т. е. увеличению длины струны по сравнению с ее длиной в состоянии покоя, причем фактор пропорциональности равняется натяжению р. Но пренебрегая членами высших
і
порядкрв, мы можем считать изменение длины ^ -\-u2dx — I равным 236
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
интегралу --[u"2 dx, и мы получаем поэтому следующее выражение для
2O
потенциальной энергии: |
U=~ и* dx. о
Тогда принцип Гамильтона требует, чтобы интеграл
Г 1
<о <о О
имел стационарное значение, причем в качестве функций сравнения допускаются все функции и (х, t), имеющие кусочно-непрерывные производные и обращающиеся в нуль при Jt = O и х = 1 и совпадающие при t = t() и < = с функциями и (х, tQ) и U(Xj1), изображающими форму струнь^ в начале и конце промежутка (t0, при действительном движении. Отсюда мы получаем на основании общих принципов вариационного исчисления, при постоянных р и |Л, следующее диференциальное уравнение (в частных произвбдных) колебаний струны:
P ««- V (Q3)
Если на струну действует внешняя сила f(x, t), то в выражение потен-
I
циальной энергии входит еще добавочный член — \f(x,t)udx, так что
Ъ
в этом случае мы получаем диференциальное уравнение:
putt—iiuxx=f(x,t). (94)
Положение устойчивого равновесия струны, находящейся под действием внешней силы, задается согласно нашему общему принципу минимумом интеграла
