Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 90

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 202 >> Следующая


F(и, uf) — [F(v, Vі) -vFv-v'FJ -и Fv-и' Fv,

H введем вместо переменных VHV' новые переменный P И ff с помощью преобразования Лежандра

P = Fb,, J = Fv, 4(x,p,f!) = vff + ifp — F, то для любых и, и',р,р' имеет место неравенство:

F(x, и, и') + If (х, р, р') — Uff — и'р 0,

причем равенство имеет место лишь тогда, когда функциям р и р* соответствуют функции v=u и V1= и'. Если мы проинтегрируем это неравенство в пределах от д:0 до Xj, предполагая при этом, что и, и',р, ff являются функциями от X, удовлетворяющими условиям: du dp

-~ — и> = О, d^ — ff = 0, U(X0)-U0 = O, U(X1)-U1 = 0,

то мы убедимся, что интеграл от левой части этого неравенства никогда не отрицателен и обращается в нуль тогда и только тогда, когда функция и является решением задачи I', а р является решением задачи IV'. Задача

Xi Xi Xi

J [/7-}-1? — up'—u'p]dx=^ Fdx -{- j' 1I1 dx -}- U0р(х0) — U1P(Xi)= min

X0 Xq X0

при перечисленных выше предварительных условиях имеет, таким образом, своим решением эти значения функций и и р, и минимум равняется нулю. Но это утверждение равносильно формулированной нами выше теореме относительно взаимоотношения, существующего между задачами I' и IV.

3. Приведение вариационной задачи к каноническому виду. Формулированный в п. 2 в общем виде принцип преобразования охватывает другое, давно известное и важное преобразование вариационных проблем, заключающееся в приведении этих задач к каноническому виду.

Диференциальное уравнение Эйлера второго порядка заменяется при этом преобразовании системой дифереициальных уравнений первого порядка. Это преобразование, не имеющее аналогичного себе преобразования среди преобразований обыкновенных задач экстремума, рассмотренных в п. 1, получается путем присоединения к задаче II уравнений (82) и (86) в качестве предварительных условий. Мы тогда приходим сперва к задаче.

IIa. Найти стационарное значение интеграла:

Xi

j {/>(*, «, U') + Fu,^-U'^dx 230

Основные нонііТия вариационного исчисления

Гл. IV

при граничных условиях u(x0) = uQ, U(Xj) = U1, где и и и' следует рассматривать как два независимых функциональных аргумента.

Если мы теперь введем вместо и' новый функциональный аргумент 1J

P = Fu»

а вместо подинтегрального выражения F(x, и, и') введем новое подинте-гральное выражение:

Ф (л:, и, р)=ри' — F(x, и, и') (мы предполагаем при этом, что

так что из уравнения p = Fa, можно обратно выразить и' как функцию от р, и -и л:), то мы получим эквивалентную задачу: Jl б. Найти стационарное значение интеграла

Xo

при граничных условиях и(х0) = и0, U(X1) = U1. При этом выражения, фигурирующие в эквивалентных задачах I и II б, связаны между собой преобразованием Лежандра

Fa.=P, PU1-F=Q*,

обратным преобразованием которого, является, как легко видеть, преобразование:

Фр = и', PU1-Q = F.

Мы называем этот вид вариационной задачи каноническим видом. Приравнивая нулю вариацию этого интеграла по р и и, мы получим канонические диференциальные уравнения вариационной задачи:

dp . , du ,

J- ф =о--Ф =0

dx ^ " и' dx P

Совершенно аналогично мы можем привести к каноническому виду и вариационную задачу с п неизвестными функциями U1(X),..., ип(х). Что касаетсй характера экстремума, то, не перечисляя подробно всех необходимых условий, формулируем лишь следующий результат. Если для задачи I имеется налицо минимум d, то это число d будет Jj канонической задаче служить наибольшим из наименьших значений в том смысле, что для того, чтобы найти это число d, мы должны сперва найти наименьшее значение функционала при постоянном р и варииру-ющем и, а затем, вариируя р, должны найти наибольшее из этих наименьших значений, зависящих от функции р,

4. Обобщения. Вышеизложенную теорию преобразований вариационных проблем, как это само собой очевидно и не требует никаких

Ла 'аиР равняется* таким образом, фигурирующему в задаче II множителю §9 Приведение вариационных задач

231

особых пояснений, можно непосредственно распространить как на случай задач, содержащих многие неизвестные функции и их производные высших порядков, так и на те задачи, в которых функциональный аргумент является функцией от многих независимых переменны^.

Мы ограничимся рассмотрением одного особенно простого примера вариационной задачи с функциональным аргументом, зависящим от двух независимых переменных, соответствующего рассмотренному в п. 2 частному случаю, когда подинтегральиое выражение не содержит в явной форме функции к, а именно рассмотрим преобразование классической вариационной задачи Дирихле: Задача /.

mm ^y-

G

где и есть функция, имеющая в области G кусочно-непрерывную производную и принимающая на границе заданные неподвижные граничные значения и =/($), где через s мы обозначаем длину дуги границы Г области О. При этом предполагается, что граница Г области О представляет собой кривую, имеющую кусочно-непрерывно вращающуюся Касательную.

Заменяя в нашей задаче обе частные производные функциями р и q

* iU n dB n

и присоединяя добавочные условия ---р = 0, — — # = О, мы
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed