Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
F(и, uf) — [F(v, Vі) -vFv-v'FJ -и Fv-и' Fv,
H введем вместо переменных VHV' новые переменный P И ff с помощью преобразования Лежандра
P = Fb,, J = Fv, 4(x,p,f!) = vff + ifp — F, то для любых и, и',р,р' имеет место неравенство:
F(x, и, и') + If (х, р, р') — Uff — и'р 0,
причем равенство имеет место лишь тогда, когда функциям р и р* соответствуют функции v=u и V1= и'. Если мы проинтегрируем это неравенство в пределах от д:0 до Xj, предполагая при этом, что и, и',р, ff являются функциями от X, удовлетворяющими условиям: du dp
-~ — и> = О, d^ — ff = 0, U(X0)-U0 = O, U(X1)-U1 = 0,
то мы убедимся, что интеграл от левой части этого неравенства никогда не отрицателен и обращается в нуль тогда и только тогда, когда функция и является решением задачи I', а р является решением задачи IV'. Задача
Xi Xi Xi
J [/7-}-1? — up'—u'p]dx=^ Fdx -{- j' 1I1 dx -}- U0р(х0) — U1P(Xi)= min
X0 Xq X0
при перечисленных выше предварительных условиях имеет, таким образом, своим решением эти значения функций и и р, и минимум равняется нулю. Но это утверждение равносильно формулированной нами выше теореме относительно взаимоотношения, существующего между задачами I' и IV.
3. Приведение вариационной задачи к каноническому виду. Формулированный в п. 2 в общем виде принцип преобразования охватывает другое, давно известное и важное преобразование вариационных проблем, заключающееся в приведении этих задач к каноническому виду.
Диференциальное уравнение Эйлера второго порядка заменяется при этом преобразовании системой дифереициальных уравнений первого порядка. Это преобразование, не имеющее аналогичного себе преобразования среди преобразований обыкновенных задач экстремума, рассмотренных в п. 1, получается путем присоединения к задаче II уравнений (82) и (86) в качестве предварительных условий. Мы тогда приходим сперва к задаче.
IIa. Найти стационарное значение интеграла:
Xi
j {/>(*, «, U') + Fu,^-U'^dx230
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
при граничных условиях u(x0) = uQ, U(Xj) = U1, где и и и' следует рассматривать как два независимых функциональных аргумента.
Если мы теперь введем вместо и' новый функциональный аргумент 1J
P = Fu»
а вместо подинтегрального выражения F(x, и, и') введем новое подинте-гральное выражение:
Ф (л:, и, р)=ри' — F(x, и, и') (мы предполагаем при этом, что
так что из уравнения p = Fa, можно обратно выразить и' как функцию от р, и -и л:), то мы получим эквивалентную задачу: Jl б. Найти стационарное значение интеграла
Xo
при граничных условиях и(х0) = и0, U(X1) = U1. При этом выражения, фигурирующие в эквивалентных задачах I и II б, связаны между собой преобразованием Лежандра
Fa.=P, PU1-F=Q*,
обратным преобразованием которого, является, как легко видеть, преобразование:
Фр = и', PU1-Q = F.
Мы называем этот вид вариационной задачи каноническим видом. Приравнивая нулю вариацию этого интеграла по р и и, мы получим канонические диференциальные уравнения вариационной задачи:
dp . , du ,
J- ф =о--Ф =0
dx ^ " и' dx P
Совершенно аналогично мы можем привести к каноническому виду и вариационную задачу с п неизвестными функциями U1(X),..., ип(х). Что касаетсй характера экстремума, то, не перечисляя подробно всех необходимых условий, формулируем лишь следующий результат. Если для задачи I имеется налицо минимум d, то это число d будет Jj канонической задаче служить наибольшим из наименьших значений в том смысле, что для того, чтобы найти это число d, мы должны сперва найти наименьшее значение функционала при постоянном р и варииру-ющем и, а затем, вариируя р, должны найти наибольшее из этих наименьших значений, зависящих от функции р,
4. Обобщения. Вышеизложенную теорию преобразований вариационных проблем, как это само собой очевидно и не требует никаких
Ла 'аиР равняется* таким образом, фигурирующему в задаче II множителю§9 Приведение вариационных задач
231
особых пояснений, можно непосредственно распространить как на случай задач, содержащих многие неизвестные функции и их производные высших порядков, так и на те задачи, в которых функциональный аргумент является функцией от многих независимых переменны^.
Мы ограничимся рассмотрением одного особенно простого примера вариационной задачи с функциональным аргументом, зависящим от двух независимых переменных, соответствующего рассмотренному в п. 2 частному случаю, когда подинтегральиое выражение не содержит в явной форме функции к, а именно рассмотрим преобразование классической вариационной задачи Дирихле: Задача /.
mm ^y-
G
где и есть функция, имеющая в области G кусочно-непрерывную производную и принимающая на границе заданные неподвижные граничные значения и =/($), где через s мы обозначаем длину дуги границы Г области О. При этом предполагается, что граница Г области О представляет собой кривую, имеющую кусочно-непрерывно вращающуюся Касательную.
Заменяя в нашей задаче обе частные производные функциями р и q
* iU n dB n
и присоединяя добавочные условия ---р = 0, — — # = О, мы