Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
последовательностью будет при этом всякая последовательность поверхностей, проходящих через данную окружность и площади которых стремятся к единице. Но мы можем легко построить такие допустимые поверхности сравнения, площадь которых сколь-угодно мало отличается от единицы и на которых z (х, у) в отдельных точках отличается от нуля на сколь угодно большую величину. Представим себе для этого прямой конус сколь угодно большой высоты, но радиус основания которого настолько мал, что боковая поверхность конуса меньше любой сколь угодно малой величины. Пусть основание этого конуса лежит на плоскости ху внутри заданной окружности. Возьмем в качестве. поверхности сравнения поверхность, состоящую из этого конуса и остальной части заданного круга. Минимальная- последовательность, состоящая из таких поверхностей, не сходится, очевидно, к поверхности, служащей решением данной задачи. Можно даже, как в этом легко убедиться, построить такие минимальные последовательности, для которых точки расходимости лежали бы всюду плотно внутри данного круга.
Другой пример дает задача Дирихле нахождения минимума интеграла
D [tP] = U (<Р* +?? dx &
если в качестве функций сравнения допустить все функции, непрерывные и кусочно-гладкие внутри G и обращающиеся в-нуль на границе. Очевидно, ср = 0 является единственным однозначно определенным решением задачи, так как для всякой другой допустимой функции данный интеграл имеет положительное значение, тогда как при ср = 0 интеграл D [ср] равен нулю.
Введя полярные координаты л-, & с началом координат в произвольной внутренней точке Робласти G, мы получим для нашего интеграла выражение:
Шг
с
Опишем из точки P круг радиуса а, целиком лежащий внутри области G, радиус которого меньше единицы. Положим ср = 0 вне этого круга и
1 і г
W =-log —
т log а а
внутри кольца между окружностями г=а и г=а2 и, наконец,
ср = !— log а = 1 т log a s
внутри круга г =? с2. *
Определенная таким образом функция ср является, по условию, допустимой функцией сравнения. Данный интеграл принимает при этом значение:
2тг Г 1 , 2тг
-rdr:
(log с)2 J г2 log а
с* §3
Уравнения Эйлера
173
Пусть а пробегает последовательность чисел av а2, а3,..., имеющих своим пределом нуль. Рассмотрим соответствующую последовательность функций <pj, <р2... f>„,... Тогда ннтеграл D[tpJ стремится к нулю, так что эти функции образуют минимальную последовательность. Однако в точке P все эти функции равны единице, и следовательно, они не сходятся к ре иению проблемы ср = 0.
Для вариационной проблемы
і
^y'2 dx = min,
о
где J^ (Jt) должна быть непрерывной и кусочно-гладкой функцией от х, обращающейся в нуль на концах промежутка интегрирования, легко убедиться, что хотя всякая минимальная последовательность всегда должна сходиться к пределу _у= 0, однако производные функций, доставляющих минимальную последовательность, могут и не стремиться в пределе к производной от предельной функции, как это показывает пример последовательности функций: Уп = х при х <^еп,уп = 2гп — х при Sn^x и Jn=O при х>2еп, где Iim Sn = O.
n-*CQ
Мы увидим во втором томе, что во многих случаях все такие трудности могут быть преодолены, и мы убедимся, что прямые методы вариационного исчисления являются, действительно, одним из могущественнейших средств анализа. Мы переходим теперь к изложению косвенных методов, сущность которых заключается в приведении вариационных проблем к проблемам диференциальных уравнений. Со времени Эйлера и Лагранжа до самого последнего времени эти косвенные методы занимали в вариационном исчислении первенствующее положение. Уступая прямым методам по глубине проникновения в сущность проблемы минимума, косвенные методы отличаются большей общностью, и формально ими легче пользоваться, чем прямыми методами.
S 3. Уравнения Эйлера.
I
Выведенные впервые Эйлером диференциальные уравнения вариационной проблемы представляют собой только необходимые, но ни в коем случае не достаточные условия, которым функция должна удовлетворять для того, чтобы заданный интеграл достиг своего экстремума. Мы получаем .-эти диференциальные уравнения, приводя вариационную проблему к проблеме диференциального исчисления. Условимся заранее раз навсегда, что все фигурирующие в проблеме функции и все их производные, входящие явно в заданные выражения, предполагаются непрерывными, если только не сделано противоположной оговорки.
1. Простейшая проблема вариационного исчисления. Рассмотрим сначала простейшую проблему вариационного исчисления, т. е. задачу отыскания минимума интеграла
J(y)=j F(x,y,y)dx, (13)
X0 174
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
где Jffll Jf1, у (Jf0)1 у (Jf1) имеют заданные численные значения. Мы предполагаем, что функция F 'дважды непрерывно диференцируема по своим трем аргументам х, у и у'. Относительно функции у мы предположим непрерывность второй производной У'. Пусть у=у (x)—f (х) является искомой экстремальной функцией, обращающей в минимум интеграл J (у), относительно достаточно малой (Л)-окрестности функции у —f (х). Рассмотрим некоторую определенную в интервале Jf0 =^ X =^ X1 функцию ij (а), имеющую в этом интервале непрерывные производные первого и второго порядка и~которая обращается в нуль на концах этого интервала, будучи в остальном совершенно произвольной. Образуем функции у= у-f--J- є г; (jf) =3* -f- где є произвольный параметр. Величину й_у=ет](л;) мы будем называть вариацией функции у=/(х). При достаточно малом значении параметра s все вариированные функции у содержатся в любой сколь угодно малой окрестности экстремали у==/ (х). Поэтому интеграл J (у)= 3(у-\- ?Г|), рассматриваемый как функция ф (є) оте, должен при е.= О иметь минимальное значение относительно всех значений е, достаточно малых по своему абсолютному значению. Отсюда следует, что ф'(0)=0. Но интеграл
