Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 64

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 202 >> Следующая


159

При. падении с -высоты у скорость падающей точки равна, как известно, j/2gy, где g означаег ускорение силы тяжести. Поэтому время падения выражается интегралом:

r^lvr ^rdx- <2>

который, следовательно, должен иметь минимум для искомой кривой. Допустимыми функциями сравнения являются здесь все положительные непрерывные функции у(х), имеющие непрерывные производные первого и второго порядка и для которых у (х0) = О, у (X1) =уг.

в) Минимальная поверхность вращения. Пусть линия у = у(л), лежащая в верхней полуплоскости, вращается вокруг оси х. Часть получающейся поверхности вращения, ограниченная плоскостями х = х0 и X = X1, имеет площадь

X1

Линия у=у(х), дающая минимальную поверхность вращения, характеризуется вариационной задачей:

¦ч

j У V1 +У5 dk = min .

Xv

г) Изопериметрическая задача. В своей первоначальной геометрической форме эта задача сформулируется так: найти замкнутую кривую, имеющую данную длину и ограничивающую наибольшую площадь. Предполагая искомую кривую выпуклой и допустив, что ось х делит как самую кривую, так и ограниченную ею площадь (см. п. 1, г) на две равные части, мы приходим к следующей задаче:

Требуется найти максимальное значение интеграла:

у (х) dx

путем соответственного выбора функциональльного аргумента у (х) и параметра ? при добавочном условии'; чтобы интеграл

є

\ /Г+У^х

о

имел заранее заданную величину /; в качестве функции сравнения у (х) мы можем здесь взять любую функцию, которая в промежутке О =?; X =? S 160

Основные понятия вариационного исчисления

Гл. IV

непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную и, кроме TQTO, удовлетворяет дополнительному условию:

I

/1 -\-y'2dx=l.

Совершенно аналогичная задача получается, если считать верхний предел S постоянным.

Эта задача, называемая обычно специальной изопериметрической задачей, может быть сведена к обыкновенной вариационной задаче путем введения в качестве независимой переменной длины дуги

X

dx,

которая по условию, может изменяться в промежутке O =Sg S Так как ds2 = dx2 -\-d\2, то наша задача сводится тогда к нахождению максимума интеграла:

і



где j/(s) есть произвольная непрерывная функция от s, имеющая кусочно-непрерывную производную. Найдя у (s), мы определим затем

MvMs)'* <з>

и получим нашу искомую кривую в параметрическом виде (см. решение Гурвица изопериметрической задачи, глава II, § 10, п.

Вообще же изопериметрическими задачами называются все "те задачи, в которых требуется найти экстремум одного интеграла при добавочном условии, чтобы некоторый другой интеграл имел заранее заданную величину. В качестве примера приведем задачу о цепной линии', требуется определить положение равновесия однородной тяжелой нити данной длины с закрепленными концами, находящейся под действием силы тяжести, направленной по отрицательной, оси у. Так как положение равновесия характеризуется тем, что. центр тяжести занимает низшее положение, то мы приходим к следующей вариационной задаче: найти такую функцию у(х), для которой интеграл

Jf1

^yV 1 -\-y'2dx § 1

Постановка задачи вариационного исчисления

161

имеет минимум, тогда как интеграл

Jf1

/ = j 1 dx

Xo

имеет данное значение, причем также заданы граничные значения функции у(х0)=у0, у(х1) = у1.

Приведем еще в качестве примера задачу:

X1

j (y"fdx =-- min

-V0

при добавочном условии:

-Vl

y^dx = 1,

X0

причем функция у(х) должна обращаться в нуль на концах интервала и всюду оставаться непрерывной вместе со своими производными первого и второго порядка.

Или такой пример (см. стр.,166): требуется найти такую функцию и от двух переменных X, у, которая удовлетворяет условию:

Jj и2 dxdy= 1

G

и для которой выражение

j J (uj> -1- и/) dxdy -f j au4s (4)

G Г

имеет минимальное значение (Г означает здесь границу области О, а а — заданную функцию от длины дуги s линии Г). При этом предполагается, что функция и внутри области G непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка. Точно так же и задача минимума, рассмотренная в предыдущей главе, с помощью которой мы определили собственные функции симметрического ядра, является такой же изопериметрической проблемой.

Во всех перечисленных задачах класс допустимых функций сравнения должен, разумеется, каждый раз быть определен так, чтобы рассматриваемые функционалы имели смысл.

4. Характерные трудности вариационно/о исчисления. Тогда как в обыкновенной теории maxima и minima сущёство-вание решения раз навсегда гарантировано фундаментальной теоремой Вейерштрасса,, в вариационном исчислении мы наталкиваемся на следующую специфическую трудность: может случиться, что задача, формулировка которой не содержит в себе никаких внутренних противоречий, тем не менее не разрешима, так как класс допустимых функций определен так, что его нельзя рассматривать как замкнутое множество,

11 Курачт Гильберт. 162

Основные понятия вариационного исчисления

Гл. IV

в котором имеет место принцип предельных точек Вейерштрасса. Приведем следующий простой геометрический пример: требуется соединить две данные точки оси х кратчайшей линией, имеющей непрерывно изменяющуюся кривизну и направленной в конечных точках перпендикулярно к оси X. Эта проблема не имеет решения, ибо длина всякой такой линии всегда больше длины прямого пути между данными точками и может быть сделана как угодно мало отличной от этой последней. Хотя здесь и существует нижняя грань рассматриваемого функционала, но эта нижняя грань не является минимумом, достигаемым для какой-нибудь допустимой кривой.
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed