Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
мы имеем право диференцировать под знаком интеграла, и мы получаем, следовательно, в качестве необходимого условия экстремума уравнение:
которое должно иметь место для всякой произвольной функции ї] (л:), удовлетворяющей перечисленным выше требованиям. Мы преобразовываем вторую часть этого интеграла путем интегрирования по частям и, принимая во внимание условия T1 (X0) = к] (Jf1) = 0, получаем, что для всех функций Tj(Jf) должно иметь место равенство:
Это равенство приводит к искомому диференциальному уравнению на основании следующей фундаментальной леммы вариационного исчисления.
Если для всех функций J] (Jf), Имеющих непрерывны'е производные первого и второго порядка и обращающихся в нуль при Jc = Jc0 и JC = JC1, имеет место соотношение:
ф (s) = \ F (х,у -j- S>],/ -f sr/) dx
jij(*) y(x)dx=О, §'3
Уравнения Эйлера
175
где tp (х) — данная непрерывная функция от Jr, то <р (х) должна тождественно равняться нулю. Эта теорема, имеющая место также и для кратных интегралов (вместо концов интервала х=х0 и Jr=X1 там рассматривается граница области интегрирования), доказывается очень просто рассуждением от противного. Если бы tp (х) была отличной от нуля при X = ? и имела, например, положительное значение, то существовала бы окрестность G точки S, т.е. некоторый интервал S0<X^S1, в котором (р (jc) 8 0.
Положим iq (х) = (х — S0)4 (х — S1)4 внутри G и ij (х) = 0 вне этого интервала; тогда мы будем иметь:
X1
TiIprfx > 0,
X0
вопреки нашему допущению.
Наше утверждение, что <р = 0, сохраняет свою силу и тогда, если мы потребуем, чтобы функция 1] имела непрерывные производные до k-то порядка; мы полагаем в этом случае просто T1 = (х — S0)2' (х—S1)2', где /г. Из фундаментальной леммы непосредственно следует, что
функция-^-Fy—Fy, которую мы сокращенно обозначим через —
должна как функция от х тождественно обратиться в нуль, т. е. функция у(х) должна удовлетворять диференциальному уравнению:
или в раскрытом виде:
У" Fy У + У Fy'y +" Рух ~Fy=0. (14')
Это и есть диференциальное уравнение Эйлера; уравнения этого типа многократно встречаются в анализе и его приложениях. Уравнение Эйлера является необходимым условием экстремума. Диференциальное уравнение Эйлера представляет собой диференциальное уравнение второго порядка, общее решение которого содержит две произвольные постоянные, т. е. ровно столько, сколько нужно для того, чтобы можно было удовлетворить граничным условиям.
Мы называем всякое решение этого диференциального уравнения экстремалью данной проблемы минимума. Диференциальное выражение [/7Jv мы называем вариационной производной функции F по у. Оно здесь играет такую же роль, какую обыкновенная производная играет в обыкновенных проблемах minima.
Если мы хотим разрешить диференциальное уравнение Эйлера относительно производной высшего порядка, как это обычно делают в теории диференциальных уравнений, то мы должны предположить, что
Fyy 0.
Это неравенство называетея неравенством Лежандра; оно играет большую роль при решении вопроса, действительно ли данная экстремаль дает экстремум или нет (см. также § 6, стр. 205 и след.). 176
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
В предыдущих рассуждениях существенным было включение экстремали у (л) в состав семейства функций у (л:; е)=з>(дс) -{- єт) (х) с параметром є. То, что этот параметр входит в функцию у (х; г) линейно, не является существенным. Ничего не изменилось бы, если бы мы включили экстремаль у (х) в семейство функций у (X; г) более общего вида, полагая тогда .
Г'(Х) =~деУ (Х' ^
е=0.
Укажем также на очень полезный способ обозначения. Подобно тому, как мы функцию s Tj = 8у' называем вариацией функции у (х), мы называем вариацией, или, точнее, первой вариацией, интеграла J следующее выражение:
= = (TiFy-IrTl1 Fy,)dx =
X0
X1
e8J (F?-axF>')4dX+Sr'Fy]x =X1-1ЧЪ
X = X0
X0
Xi ]
X0
[FL Sv dx -f Fy, Ьу
X = X1 X = X0
(15)
В этом выражении в общем случае не предполагается, что rj на границе обращается в нуль. Понятие вариации аналогично понятию дифе-ренциала df=ef(x) функции f(x), где е является также неопределенным параметром. Итак, необходимым условием минимума является обращение в нуль первой вариации.
Все функции или, выражаясь геометрически, все кривые, для которых IJ обращается в нуль, т.е. все экстремали данной проблемы, мы называем также стационарными функциями или кривыми, указывая этим так же, как и при соответствующей проблеме диференциального исчисления на то, что возможны случаи, когда эти функции не дают в действительности экстремума.
В самом деле, во многих случаях речь идет в первую очередь об исчезании первой вариации, тогда как вопрос о достижении экстремума является второстепенным. Такого рода проблемы, в которых требуется тольке определить стационарные значения функционала, также называются вариационными проблемами.
Приведенные выше примеры (см. стр. 158, 159) дают следующие вариационные производные:
d f+gV е„ + 2fjf+gjP.
