Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Подобно тому как для функций от конечного числа переменных должна быть задана область изменения этих переменных, так и для функционалов должен быть указан класс допустимых функциональных аргументов. Так, например, мы можем определить этот класс допустимых функ-
часть поверхности имеет величину, равную интегралу:
G § 1 Постановка задачи вариационного исчисления
157
ций требованием непрерывности самого функционального аргумента и кусочной непрерывности его первой производной (см. следующий пункт).
Если и нельзя рассматривать функционал как функцию от конечного числа переменных, то мы можем, однако, смотреть на него как на функ"цию от бесконечного множества переменных.
Если представить себе, например, что функциональный аргумент разложен в степенной рядили ряд Фурье, то в качестве такого бесконечного множества переменных мы можем рассматривать коэфициентьгэтих рядов. Область изменения этих независимых переменных должна быть подчинена соответственным ограничениям, вытекающим из ограничений, наложенных на класс допустимых функций.
3. Типичные примёры задач вариационного исчисления. В вариационном исчислении речь идет об отыскании максимальных, минимальных или же вообще стационарных значений3) заданного функционала путем определения тех функциональных аргументов, для которых рассматриваемый функционал принимает экстремальное или стационарное Значение. Аналогично обыкновенной задаче максимума и минимума, рассматриваемой в диференциальном ,исчислении, мы находим сперва не абсолютный экстремум, а лишь относительный экстремум, т. е. экстремум относительно известной окрестности экстремального функционального аргумента (т. е. того функционального аргумента, для которого функционал принимает экстремальное значение). Мы определяем при этом понятие окрестности функции f(x, у,...') следующим образом:' функция /, (х, у,...) принадлежит (А)-окрестности функции f(x, у,...), если I/—Z1K^ внутри рассматриваемой области изменения переменных х, у,... 2). Мы можем теперь следующим образом формулировать основную задачу вариационного исчисления-, внутри определенного класса допустимых функциональных аргументов требуется найти ту функцию, которая является экстремальной для рассматриваемого функционала, т. е. для которой этот функционал принимает экстремальное значение сравнительно со всеми допустимыми функциональными аргументами, принадлежащими достаточно малой (й)-окрестности экстремальной функции. Функциональный аргумент может быть при этом либо совершенно произвольным и ничем не ограниченным (кроме условий допустимости), либо функциональный аргумент может быть подчинен еще добавочным ограничительным условиям.
Если требует, я найти экстремум такого функционала, который кроме функциональных аргументов содержит еще переменные параметры х,у,...,
') Точное определение понятия стационарного значения функционала будет нами дано позже /см. § 3, п. 1)
2) Для некоторых исследований целесообразно дать более тонкое определение понятия Окрестности функции. Мы говорим, что функция fy (х,у,...) содержится в (Л)-окрестности первого порядка функции /(х, у,...), если кроме условия I /—/,| < h выполняются еще условия:
\fx~fix\< h> I fy—hy\<h и т. д.
Вообще (А)-окрестностыо п-го порядка функции f{x,у,...) называется множество тех функций (х. у,.), для которых эти неравенства имеют место не только для самой функции, но и для всех частных производных до м-го порядка включительно. 158
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
т. е. если рассматриваемый функционал сам является не числом, а функцией от этих параметров, то эти параметры также должны быть определены из условий экстремальности. Мы поясним эту постановку задачи на ряде примеров:
а) Геодезические линии. На данной поверхности требуется найти кратчайший из всех лежащих на этой поверхности путей, соединяющих данные две точки. Если поверхность задана в параметрическом виде
X = X(UtV), У=У(и, V), Z = Z(U, V), где X, у, Z — прямоугольные координаты, и если положить, как обычно ?=-4 + 3^ + 4; F=xaxv-\-уuyv-\-ZllZb-, g=4 +j? + 4>
то длина дуги кривой, лежащей на поверхности и заданной уравнением
v=v (U),
между значениями и0, U1 задается интегралом:
«і
L = j" 1/^+2Fv' + W2 du.
«о
Речь иде?, следовательно, о нахождении экстремума интеграла щ
jV?+,2/V + Gu'2 du.
щ
б) Световой луч, брахистохрона. Согласно формулированному выше принципу Ферма (стр. 153) путь светового луча в неоднородной двумерной среде со скоростью света ш (х, у) характеризуется вариационной задачей:
Xi --
г Г/1+У2 .
/ — І-;-— dx = min.
J tP (Х>У).
Xe
В этой, как и в предыдущей задаче, искомый путь сравнивается с другими путями, имеющими непрерывно изменяющуюся кривизну и соединяющими заданные неподвижные конечные точки. Совершенно аналогично' этой задаче формулируется задача брахистохроны, которая в 1696 г. привела Якова Бернулли к созданию вариационного исчисления.
Требуется соединить две данные точки А(х0,0) и В (X1, утакой кривой, чтобы тяжелая материальная точка, падающая по этой кривой без трения, пришла из А в В в кратчайшее время. Пусть ось OY направлена вертикально вниз, а начальная скорость падающей точки р^вна нулю. § 1 Постановка задачи вариационного исчисления
