Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
иххиуу-
-з-
ху
3 ~
uXXuV
(К2 + 1)/1 + к2+и2
(1 +и'х+й'уУ
~Ъх
ихУиУ
(ul + 1)1/1+«®+«»
Стоящее слева выражение
uXXuyy-^y
П+«*+«])7
равняется, как известно, гауссовой кривизне поверхности Z = и(х, у),
і
умноженной на (1 +U2x + и7) 2 . Из того, что это выражение может быть
представлено в виде дивергенции, вытекает тот общеизвестный факт, что полная кривизна ограниченного куска поверхности зависит только от значений функции г и ее частных производных на границе этого куска поверхности.
Следующим непосредственным следствием из полученного нами условия обращения в нуль диференциального выражения Эйлера является следующая теорема: Если разность под интегральных выражений двух вариационных проблем представляет собой выражение, изображаемое в виде дивергенции, то уравнения Эйлера, а следовательно и семейства 186
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
экстремалей обеих вариационных проблем, тождественны между собой (см. стр. 201, примечание 1).
6. Однородная форма диференциальных уравнений Эйлера. В задачах геометрического характера, в которых идет речь об определении кривых или поверхностей, удовлетворяющих некоторому условию минимума, выделение одной из координат в качестве независимой переменной не соответствует характеру задачи, и поэтому является более естественным задать кривую или поверхность в параметрическом виде x = x(t), y=y(t) или соответственно x = x(u,v), у =у (и, Z>), Z = = z(u,v), где t или соответственно и, V являются независимыми переменными. Относительно функций X, у или л:, у, z мы предполагаем при' этом, что не имеют места равенства: х =у = 0 или соответственно
хиУ* — ХъУи =Уи zV-У-и zU = *в 0, где поставленные сверху
точки означают диференцирование по параметру t. Рассмотрим сначала простейшую вариационную проблему, имеющую вид:
X1 h
J = Jf [х, у, ^jdX = ^ (X, у, х,у) dt = min, (27)
Xa
где
% = xF^x, y,j.y
Функция является „однородной" функцией первого измерения относительно производных х,у и удовлетворяет для всякого k условию однородности:
& (х, У, k'x, ky) = k% (X, у, X, у), (28)
откуда, диференцируя по k и полагая затем A=I1 мы получаем:
(29)
Обратно, если есть произвольная однородная 1J функция первого измерения относительно X и у, так что удовлетворяет равенству (28), то вариационная проблема ^ g= dt = min определяет кривую независимо от выбора параметра, ибо если при преобразовании параметра t = t (т),
4) В геометрических примерах функция % очень часто удовлетворяет условию (28) только для положительных значений А. Мы говорим тогда, что § только положительно однородна, а не однородна в полном смысле этого слова. В последнем случае интеграл должен менять знак, если пробегать кривую в противоположном направлении, но это требование полной однородности не выполняется уже, например, для длины дуги, выражающейся интегралом
[УхЦ-jpdt.
где квадратный корень положителен и интеграл всегда имеет одно и то же значение независимо ог направления пробега кривой. Приведенные выше соображения сохраняют свою силу и для таких только положительно однородных подитеграль-ных выражений. §'3
Уравнения Эйлера
187
dt
где — > 0, интервал ^0 < 2 ^1 переходит в интервал T1, то
в силу соотношения (28) мы имеем:
j з (Х>У> %• %) d*= ] S [*• У' * ъ' У А:=
Tn T0
Tt А
=j 3= ( У' у) Jx л=j 3= ^ ж, у, X, у j dt.
T0 to
Таким образом рассматриваемая вариационная проблема инвариантна относительно преобразования параметра, не меняющего направления пробега, и экстремальные кривые не зависят поэтому от выбора параметра.
Приведенной к однородному виду проблеме соответствуют два диференциальных уравнения Эйлера:
Эти два уравнения при выполнении соотношения (29) должны быть эквивалентны диференциальному уравнению (14) и не могут быть поэтому независимыми друг от друга. Мы получаем эту зависимость, выводя из (29) путем диференцирования следующие тождества:
откуда
Равные между собой отношения
%'хх ___IyJcji_Ъуу
у2 ху X2
обычно обозначают через ^r
Из предыдущих тождеств следует, что
— дх = Х %х-х-\-У%ху — %-ххХ — %-хуУ — %-ххХ~%-хуУ = — Ь'у—* %ух+уЗу'у — %ху X — %ууу — %хуХ — у=
— — х[$х;— -J- (ху —ух) gj ] . Таким образом оба уравнения (30) связаны между собой тождеством:
—= о (зі)
и могут быть заменены одним уравнением, например уравнением:
+ (ху —ух) ^1 = о. (32) 188
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
Совершенно аналогично обстоит дело и в том случае, когда речь идет об отыскании нескольких функций от одной переменной. Например, вариа-
xCi
ционная проблема ^ F(x,y,z,y', z!)dx = mm переходит в вариацион-t
ную проблему ^ уу [х,у, г, х,у, z) dt = min, где
% у, z, Xiу, г,) = xF ^atiJ, Z, К-,'-? j ,
и функция -Jy является однородной функцией первого измерения относительно производных Xi у, Z.
Приведение подинтегрального выражения к однородному виду обладает не только преимуществом формальной симметрии, но и расширяет область геометрических проблем, доступных непосредственному исследованию. Если, например, речь идет о замкнутой кривой, вдоль которой абсцисса х не возрастает все время монотонно, так что кривая не может быть представлена в виде у=у(х), то соответствующая вариационная проблема не может быть непосредственно рассмотрена в неоднородной форме. — Для вариационных проблем в многомерных областях однородная форма подинтегрального выражения получается следующим образом: Если в интеграле
