Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
для первой вариации 87=S -J [у -I-Sr1]
uc
6 = О
следующее выражение:
X1
W rfn)] dx.
X0
Повторным интегрированием по частям мы можем здесь так же, как и раньше, устранить, все производные функции Ti в подинтегральном выражении, так что cJ принимает вид:
8 J--
X,
Xo
d2
dx Fy,Jr dx* Fy" 1)"
d* dxn
у (n)
dx. (20)
13* 180
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
Отсюда мы получаем на основании приведенной выше леммы в качестве необходимого условия экстремума диференциальное уравнение порядка 2я:
Т/У (- 1) />) • 0. (21)
Мы называем"это диференциальное уравнение также уравнением Эйлера. Входящие в общий интеграл уравнения (21) 2я постоянных интегрирования могут быть определены с помощью In граничных условий.
Совершенно аналогичный вид имеет система уравнений Эйлера, получающихся при отыскании системы функций у, z,..., удовлетворяющих варйационной проблеме:
X1
\
Xq
F(x, у, Z,..., у', Z>,...,y", z" ,...)dx= min.
4. Случай многих независимых переменных. Вариационная проблема нахождения экстремума кратного интеграла приводит к одному или к нескольким диференциальным уравнениям с частными производными, которым должны удовлетворять искомые функции, подобно тому как рассмотренные до сих пор задачи привели нас к обыкновенным диференциальным уравнениям.
Пусть, например, требуется найти экстремум двойного интеграла:
H
F (х, у, и,их, иу) dx dy, (22)
распространенного по заданной области G, причем искомая функция и должна имеїь непрерывные производные до второго порядка включительно и принимать на границе области G заданные граничные значения. Мы снова обозначаем через rt(x, у) произвольную функцию, на которую мы позже наложим граничное условие J] = 0, и получаем в качестве необходимого условия экстремума обращение в нуль первой вариации:
"-•(«•^.--'(г^'+Ч-
или, иначе говоря, уравнение-
и=е ^ J (Fu T1 + Flly rlx H- Fuy т1у) dx dy = 0. (23)
Это уравнение мы снова преобразовываем путем интегрирования по частям. Мы предполагаем, как обычно, что граница Г области G имеет кусочно-непрерывно изменяющуюся касательную. §'3
Уравнения Эйлера
181
Тогда по теореме Гаусса 1J
MxI7U + FuJdxdy=
№
«= J Ч (Fu dy - Fa d*) - ДО Ч [fxFu х + 1 Fay) dX dy;
г о
мы получаем таким образом
5/ = ?ИГ' { -Vy я} ^ * + ^(Fa dy-Faydx) =
'с г
= jj" Sh [Fja dx dy -f J Sh (Fu dy — Fu dx) = 0. 'о г
В частности, если мы потребуем, чтобы на границе Г функция і] была равна нулю, в соответствии с тем, что, согласно предположению, для функции и заданы постоянные граничные значения, то мы получаем:
W= г jj, { F-^x P.-^Y**»=0. (24)
\}<
Равенство SJ = O' должно иметь место для произвольной непрерывно диференцируемой функции Tj. Так как лемма п. I справедпива также и для кратных интегралов и, доказывается так же, как и для простых интегралов, то мы отсюда получаем диференциальное уравнение Эйлера:
-\n^-FUx+lyFu-F= 0, (25)
или в раскрытом виде:
pUxUxuXXjT 2FUxUyllXy-V FufUyy + FltxliUx 4 FltuUy+FUxX 4- Fay-F= 0.
Из всего многообразия решений этого диференциального уравнения мы должны выбрать то частное решение, которое удовлетворяет заданным граничным условиям (краевая задача).
Аналогично мы получаем систему таких диференциальных уравнений в том случае, когда требуется найти несколько неизвестных функций.
Если же функция F содержит частные производные высших порядков до я-го порядка включительно, tj мы получаем диференциальное
См., например, Курант, Курс диференциального и интегрального исчисления, т. II, стр. 246. 182
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
уравнение порядка 2л:
[Я =F--F — -F 4--F 4-2-^— F 4 1 іи а Ьх uX Ъу "у* Ъх2 а**~ ЪхЪу uWn
й2 _ я у. _ (26)
Ъу2 Р"УУ - - - -Ь ( 1 ^^ ^jkv - - - JH В качестве примера рассмотрим
(см. стр. 167).
Уравнение Эйлера сводится в этом случае к „уравнению Лапласа11'. Ы = ихх-\-иуу=0.
Выражение
F= І-(ІИ) 2 = і- и2хх 4 Uxx Uyy +-L U2yy
приводит к уравнению Эйлера:
ДДи = и „,, 4 2и 4 и =0.
XXXX I *"*хЗСуу Г уууу
Это же уравнение Эйлера получается и для функции F= (Ли)2 — с (ихх иуу — «у
при постоянном с.
Проблема минимальных поверхностей, для которой подинтегральное выражение имеет вид:
F=V 1 + 4+4
приводит к диференциальному уравнению Эйлера:
Ml + 4) - 2^ ^2V + zyy(l + zD = 0•
5. Tо ,ждественное обращение в нуль диференциального выражения Эйлера. Под интегральные выражения, изображаемые в виде дивергенций. Может случиться,- что диференциальное выражение Эйлера, образованное для подинтегрального выражения F(x,y,y',...), обращается тождественно в нуль для любьго допустимого функционального аргумента у. Так как всегда можно построить такой допустимый функциональный аргументу, чтобы при любом заранее заданном значении х функции у,у',... принимали произвольные заданные значения, то обращение в нуль диференциального выражения Эйлера для всякого допустимого функционального аргумента равносильно обращению в нуль этого выражения при любых значениях переменных х, у, У,..., рассматриваемых как независимые параметры. Это же относится и к трму случаю, когда функциональный аргумент и выражения Эйлера является функцией от многих переменных.
