Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
а) F= \Ге 4- 2/і/ -4- gv'2; . ___ - — —- ;__-
duV e-\-2fv' -Jfgv'2 2|/ е 4-2/ь' + gv'2
б) F = V\ +У2 = ф (X, у) /Г+У^; tyy" = (tyy-tyxy')(\-\-y'2);
V (х, у)
¦0; §'3
Уравнения Эйлера
17
в) F=yY^ + У2.' УУ" = 1 +У2 (частный случай предыдущего);
г) F=yy\ —у'2; уу"=уг — 1.
Интегрированием этих дифереициальных уравнений мы займемся в § 4. 2. Случай многих неизвестных функций. От простейшей проблемы вариационного исчисления, только что рассмотренной нами, очень мало отличается тот случай, когда речь идет о нахождении системы нензвестных функций у(х), z (.*),... от переменной JC, для которой интеграл
J= У, г,... ,у, z', ...)dx
(16)
*0
имеет экстремальное (или стационарное) значение, причем снова предполагается, что заданы значения функций на концах промежутка интегрирования.
Введя и здесь произвольные функции T1 (*). ?(jc), ..., обращающиеся на границе в нуль, и предполагая, что система функций
у=у(х)=/(х), Z = z(x) = g(x) дает экстремум, мы заключаем отсюда, как и раньше, что функция
X1
Ф(е„ s2,...)=^F(jc,.y-{-Sjj], * + S2C,... ,у-H1Ijr, г'+ S2C',...)^
Xo
от переменных S1, S2,... должна иметь экстремум при S1 = О, S2 = O1...
/аФ\ /ЙФ\ Отсюда следует, что —— = 0, I — ) =O,...1) VdS1 I0 \д?2 I0
Систему этих условий мы можем записать в виде одного уравнения: = j [(Fy 1 + Fy- T1') S1 + (F2 ? + Fs- С) ?2 + ...] dx = 0.
X0
Мы называем это выражение первой вариацией ннтеграла J и так же, как и раньше, мы можем его привести к виду:
Ь J = E1JFyrj
-ь S2 Fe- С
X0
X,
Xo
+
Xo Xo
причем в рассматриваемом случае граничные члены обращаются в нуль. 0 Индекс нуль указывает, что во всех этнх выражениях нужно положить
s1 = e2=. .. = 0. 12 Куравт-Гильберт. 178
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
Считая одну из функций ij, ... произвольной, а все остальные равными нулю, мы заключаем из обращения в нуль вариации bJ для этих частных систем значений Jj,?,..., на основании приведенной выше леммы, что функции у, z,...должны одновременно удовлетворять следующей системе совокупных диференциальных уравнений Эйлера:
-Wy=I^-Fy=
= Fyyy"+ Fy^"+. - .+[РууУ + Fys г1 + .. Fy = O1
ГП dF-F (18^
= Fay У" + F^z"+... •+ Fz,уУ + F',^ + ...+ F', -F2 = O.
Мы получаем таким образом в качестве необходимого условия экстремума или стационарного характера „пространственной кривой" y=f(x), z = g(x) систему совокупных диференциальных уравнений второго порядка, причем число уравнений равно числу неизвестных функций у, Z,... Все сказанное нами выше для случая простейшей проблемы вариационного исчисления сохраняет свою силу и здесь. Новым является лишь то обстоятельство, что обращение в нуль первой вариации является необходимым условием не только экстремума, но и такого смешанного минимума и максимума, когда интеграл имеет минимум при ва-риировании функции у (х) и в то же время имеет максимум при варии-ровании функции z(x).
Здесь мы также называем всякую интегральную кривую системы диференциальных уравнений (18) экстремалью.
Простейший пример уравнений Эйлера (18) дает задача определения кратчайших линий в обыкновенном евклидовом пли же неевклидовом пространстве с линейным элементом
ds2 = g1}dx2 + g22dy2 + g3adz2 + 2g12dx dy + 2gndx dz + 2gndy ds. Здесь
F = Vg11 + ^22У2 + ft«*" -+- +
и мы получаем для геодезических линий этого пространства диференциальные уравнения:
d Igy + go^+gMZ^ 1 ^g11 , \ п
dx\ F
d (g^ + g^y'+g^X 1 /afti , Jft2 , і \ ft
В евклидовом пространстве, где
ds2 = dx2 + dy2 + dz2, F=/Tf >»'2 + г'2, эти диференциальные уравнения имеют вид:
dI * Wo
dx \у 1 +У2 +J ' dx\y 1 -1-у2 _|_2Г2) и удовлетворяются всеми прямыми линиями в пространстве. §3
Уравнения Эйлера
179
Распространение света в трехмерной^ среде со скоростью <f (х, у, г) приводит к вариационной проблеме:
xi ,_
f/l +V2H-S'2,
ч
<Р (¦*, У, Є)
X0
В более общем случае мы можем считать, что скорость света зависит также и от направления светового луча и выражается поэтому функцией
ср (л:, у, Z, у', г%
Тогда задача нахождения вида светового луча, т. е. основная проблема геометрической оптики, оказывается эквивалентной рассматриваемой нами общей проблеме вариационного исчисления, в которой мы должны положить. ___
P .У1 ±v'2 +g'2 ~~Ч>(Х,У, У,2*)'
3. Выражения, содержащие производные высших порядков. Пусть речь идет о вариационной проблеме для интеграла вида:
1
J=j F(x, у, у', у",..., у<п>) dx,
(19)
Xo
где F—заданная функция от аргументов лг, у, У, ...,У"^ и где в качестве функций сравнения допускаются все функции, имеющие непрерывные производные до порядка 2п включительно, для которых на концах промежутка заданы значения функции и ее производных до порядка п—1 включительно. Мы можем и в этом случае вывести совершенно аналогичным образом диференциальное уравнение Эйлера. Обозначим снова через 7j (л) произвольную функцию, имеющую непрерывные производные до порядка 2п включительно и удовлетворяющую в граничных точках х=х0 и X = X1 условиям 7j(x) = 0, г/(хг) = 0,... ..., Tjfn-^(X) =s 0. Мы получим тогда совершенно так же, как и раньше
