Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Если функции:
у = V1(X), у = If2 (х),... 166
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
Читатель может легко убедиться, что этот процесс решения вариационной проблемы можно получить как частный случай из общего процесса Ритца, вводя в качестве координатных функций подходящие ку-сочно-линейные функции.
Во втором томе мы выясним, когда полученная таким путем минимальная последовательность действительно сходится к искомому решению проблемы минимума.
В том случае, когда подинтегральное выражение содержит производные высших порядков, например производную второго порядка, можно поступать совершенно аналогичным образом. В эТЬм случае мы в аппроксимирующей проблеме заменяем вторую производную отношением конечных приращений второго порядка, т. е. выражением:
УU 2— IyMjT УI (Д xf
Можно также рассматривать наши вариационные проблемы и с точки зрения теории функций. от бесконечно многих переменных. В качестве примера мы можем указать на приведенное в главе II (стр.* 90 и след.) решение Гурвица изопериметрической задачи, где независимыми переменными являются коэфициенты Фурье и где решение задачи непосредственно вытекает из полученного там аналитического выражения для а2— 4ц/7.
Процесс Ритца можно также рассматривать и с этой точки зрения, разлагая искомую функцию в бесконечный ряд:
и рассматривая этот процесс как метод последовательного определения коэфициентов C1, C2,..., сп,..., причем, конечно, необходимо провести все относящиеся сюда исследования сходимости.
Поясним эти общие рассуждения на отдельных примерах:
а) (см. стр. 161). Требуется найти минимум интеграла
= + (6) R
взятого по прямоугольнику /?:
0<лг<д, 0 sc у Ъ,
налагая при этом на функции сравнения <р следующие ограничения: функция <р, во-первых, должна быть непрерывной и кусочно-гладкой 1J внутри прямоугольника R, во-вторых, <р должна обращаться в нуль на границе этого прямоугольника, и, наконец, функция <р должна удовлетворять дополнительному условию:
H(if) = (7)
R
') См. определение кусоч»ю-сладщж функции в начале гл, H5 § 2 Прямые методы
167
Представим себе функцию <р разложенной в ряд Фурье:
со
fP= Ц Cmn sin m~xsin п ~у,
что согласно гл. II, несомненно, возможно в виду наложенных ограничений на функцию <р; тогда речь идет об определении бесконечного множества параметров стп с помощью требуемого условия минимума. Так как функции ух и кусочно-непрерывны, то для этих функций,
имеющих коэфициенты Фурье ~ т Cmn, ~ п стп, выполняются условия
полноты системы тригонометрических функций, и мы получаем для обоих интегралов следующие выражения:
1,4(?+?. »=
Ш, П— 1 \ /
со , „ ,со
ab v^ 2
= J Zu стп> (8)
т, л=1
содержащие бесконечное множество параметров стп. Из условия H —-1 непосредственно следует, что решение нашей проблемы получается, если
все Cmn = О за исключением коэфициента Cn = - Таким образом
решение нашей вариационной проблемы дается функцией:
2 . TTJC . тіу и = —р= sm — sin — . Yab а Ь
Минимальное значение D [ф] равно:
d-.
^[Wb)'
Отсюда непосредственно следует, что всякая кусочно-гладкая функция'tp, обращающаяся в нуль на границе прямоугольника R, удовлетворяет неравенству:
AM^^ + ^tfM. (9)
ибо это неравенство эквивалентно неравенству D [ф] S= d для нормированной функции
б) Проблема Дирихле1) для круга. Требуется найти минимум интеграла:
?>l<p] = jj(<$+<pJ)<*» У, к
О Присвоение рассматриваемой проблеме имени Дирихле стало общепринятым CO Времен Римана, ХОТЯ совершенно не соответствует исторической'действительности. 168
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
распространенного по кругу К'-х2 -\-у2 =?! 1 плоскости х, у, принимая за функции сравнения все функции, гладкие внутри К и принимающие на границе заданные граничные значения. Переходя к полярным координатам г, &, мы получаем для D [ср] выражение:
2г. і
D W =JJ ~ lijrdrdu;
о и
пусть заданные граничные значения определены с помощью ряда Фурье:
со
/ (») ¦= ^+ E К «>s *Ъ + ьп Sin «9),
г в=і
и пусть эта граничная функция имеет гладкую производную, откуда следует, согласно гл. II, § 5, п. 3, ограниченность множества значений
«2 Kl, п2 к|.
Представим с,ебе функцию ср разложенной в ряд:
1 °° <Р = у /о W + S Ifn (г) cos nb + (г) sin я»],
Z B= 1
где коэфициенты /и fr) иgn(г) должны удовлетворять условиям fn(\) = an, gn(\) = bn. Мы можем тогда на основании условия полноты системы тригонометрических функций получить для /?[ср] следующее выражение:
1 со 1
^M = I J/o'Wrdr + irS j" Wirf^fn (r)A TdrAr
и о
СО 1
+ «S J Sn Cf] г dr.
о
Отсюда следует, что для того, чтобы решить первоначальную проблему минимума, мы должны решить в отдельности весь ряд проблем минимума: 1
f [/«(rf + ^fn W2] rdr— min, "о
^g\(rf + ~gn{rf^rdr = m\n(n = Q, 1,2, З,...),
о
причем fn и gn должны быть гладкими функциями, принимающими при /*= 1 заданные значения ап и bn. На основании теоремы Вейерштрасса об аппроксимировании непрерывных функций последовательность функций 1, г, г2,... удовлетворяет для всех этих проблем минимума условиям, требующимся при процессе Ритца, Мы можем поэтому .заменить § 2
