Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. IV
вого порядка или же в него входят также производные высших порядков. Мы предполагаем, что множество значений интеграла D [ср] для всех допустимых фу-нкций <р имеет некоторую нижнюю грань d (вопрос, достигается ли эта грань для некоторой допустимой функции ср, остается пока открытым); тогда существуют последовательности Cp1, ср2, ср3,... такие, что
lim ?>[<pj=d,
и—>00
тогда как для любой допустимой функции -ср интеграл D [ср] ^= d. Такие последовательности функций мы называем минимальными последовательностями. Прямой метод решения вариационной проблемы заключается в том, что непосредственно дается способ построения минимальных последовательностей и из них пытаются получить искомое решение путем перехода к пределу.
На этом принципе основан метод В. Ритца1), примененный им с большим успехом для получения численного значения минимума. Метод Ритца заключается в следующем: найдем полную систему функций W1, <о2, W3,..., определенных в области интегрирования, обладающую тем свойством2), что все линейные комбинации cpn = C1O1 -|-с2(02 -j- ... -j- сп<оп любого конечного числа функций (O1 являются допустимыми функциями и что для всякой допустимой функции ср можно подобрать такую линейную комбинацию сря, составленную из функций v>{, чтобы интеграл D [ср J сколь угодно мало отличался от интеграла D [ср]. Тогда существуют минимальные последовательности Cp1, ср2,... , cpn,..., в которых ср„ является линейной комбинацией:
C1IO1 + C2W2 + ... + с„о>„
функций W1, (I)21 .. . Юп.
Мы тем более получим минимальную последовательность, если мы для каждого п определим функцию срп, т. е. постоянные
так, чтобы интеграл D[cpJ=<fn имел минимальное значение. Это требование представляет собой, очевидно, обыкновенную задачу нахождения минимума выражения D [cpj, рассматриваемого как функция от конечного числа параметров сг, C2_____ сп. Эта задача всегда имеет решение на основании теоремы Вейерштрасса, если предположить, что D [tpj является непрерывной функцией от C1, C2,... сп. Дли определения значений C1 мы, вообще
TOBOpHv полу чаем л уравнений ^-^3 = 0 (г= 1, 2, ...,/г). Естественно
OCi
ожидать, что полученная этим путем минимальная последовательность сходится к искомому решению. К сожалению, однако^ дело здесь обстоит не так просто, как мы в этом убедимся в п. 4. 'Мы можем поэтому в общем случае сказать только одно: полученные значения D [ср J = dn
1J W. Ritz, Uber eine neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, J. f. reine u. angew. Math., т. 135, стр. 1—61, 1909. Собрание сочинений, стр. 192—250, Париж 1911.
2) Вопрос о существовании таких функций будет исследован во втором томе. § 2
Прямые методы
165
сходятся к искомой нижней границе или минимуму. Сходится ли сама минимальная последовательность к искомому решению, это должно быть предметом особого исследования. К этому вопросу мы будем в дальнейшем часто возвращаться по различным поводам.
Однако пригодность этого процесса для получения численного значения d остается в силе даже в тех случаях, когда сходимость процесса не доказана. Успех этого метода в каждом отдельном случае зависит от того, насколько удачно выбрана система координатных функций Oii, при выборе которой мы должны приноравливаться к каждой индивидуальной проблеме в отдельности. В качестве первого пояснения к этому процессу предлагаем читателю рассмотреть примеры п. 3.
3.Дальнейшие прямые методы. Метод конечных приращений. Бесконечное число независимых переменных. Во многих случаях можно получить минимальные последовательности другим путем, расширяя при этом класс допустимых функций, рассматривая, например, вместо непрерывно диференцируемых функций непрерывные функции сравнения, имеющие кусочно-непрерывные производные. Ограничимся задачей нахождения минимума интеграла вида:
образуют минимальную последовательность, то, сделав относительно F (х, у, У) обычные предположения непрерывности, мы можем кривую, изображаемую функцией у — уп(хг), заменить ломаной линиейу=рп(х) так, чтобы интеграл D[pn] сколь угодно мало отличался от интеграла D [іри]. Мы можем поэтому образовать минимальные последовательности, составленные из кусочно-линейных функций, и тогда в каждом частичном интервале отпадает разница между производной и отношением конечных приращений. Тогда, разделив промежуток интегрирования на m —1 равных интервалов длины Дх с помощью т промежуточных точек X1, X2,..., Xm и ограничиваясь функциями, линейными в каждом из этих интервалов, мы можем снова свести вариационную проблему к обыкновенной проблеме" минимума
решая которую мы найдем значения ул, у2,..., уп функции у в точках деления. Образовав получаемые таким путем функции для т= 1, 2, 3,..., мы снова получим минимальную последовательность *).
*) Изложенный здесь'метод по существу совпадает с тем методом, с помощью которого Эйлер первоначально вывел диференциальные уравнения вариационного исчисления в своей работе; „Methoius inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes" (Лозанна 1744).
