Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве другого примера, неразрешимой вариационной проблемы приведем следующую задачу: требуется найти минимум интеграла
і
^ х*у'2 dx, (5)
—і
в котором у (х) означает непрерывную и имеющую кусочно-непрерывную производную функцию, для которой
^(-1) = -1, .V(I)=I.
Нетрудно убедиться, что можно выбрать такую допустимую функцию у (лг), для которбй наш интеграл становится сколь угодно мал (например,
полагая у = —1 при —е, _у = 1 при х^>? и у = — при |л:|^є),
S
тогда как ни для какой допустимой функции данный интеграл не обращается в нуль.
Мы видйм таким образом, что в вариационном исчислении существование решения данной проблемы экстремума требует каждый раз особого доказательства. В этом заключается существенная трудность для многих вопросов, связанных с вариационным исчислением, как мы в этом убедимся впоследствии. Однако в настоящей главе речь будет итти главным образом о выводе только необходимых условий экстремума, причем останется открытым вопрос, действительно ли имеется экстремум при выполнении этих условий.
Прежде, чем перейти к выводу этих необходимых условий в форме диференциальных уравнений, мы приведем в ближайших параграфах некоторые соображения относительно приемов, с помощью которых можно в известных случаях получить решение вариационной проблемы прямым путем.
§ 2. Прямые методы1).
1. Изопериметрическая задача. В качестве примера рассмотрим изопериметрическую задачу (см. § 1, п. 3, г). Требуется найти замкнутую кривую К, имеющую длину 21 и ограничивающую максимальную площадь, причем эта кривая должна быть кусочно-гладкой т. е. должна иметь всюду, за исключением конечного числа угло-
») Подробно прямые методы вариационного исчисления будут нами рассмотрены во втором томе. § 2 Прямые методы
163
вых точек, непрерывно изменяющуюся касательную. Докажем, что искомая кривая К представляет собой окружность. В самом ' деле, во-первых, совершенно таким же путем, как и в § 1, п. 1, г., мы получаем, что К является выпуклой линией и что всякая хорда AB7 делящая К на две дуги равной длины, делит также и площадь, ограниченную К, на две равновеликие части; во-вторых, для всякой точки P кривой К угол APB должен быть прямым, ибо в противном случае можно было бы с помощью построения, приведенного в § 1, п. 1, г, получить кривую К', имеющую ту же длину, но ограничивающую большую площадь. Но это рассуждение основано на требующем доказательства допущении, что задача вообще имеет решение. Мы выберем поэтому другой путь решения нашей задачи, который нам даст вместе с тем и требуемое доказательство существования решевия. Рассмотрим множество численных значений всех площадей, ограничиваемых допустимыми кривыми. Эти числа не могут превосходить грани /2тг, ибо всякая до-пустимая кривая лежит внутри круга радиуса/. Поэтому рассматриваемое множество чисел имеет верхнюю грань M такую, что ни одно из чисел множества не превосходит M, тогда как для любого є в рассматриваемом числовом множестве найдется число, превосходящее M — е. Другими словами, существует максимальная последовательность допустимых кривых K1, K2I K3,... таких, что площадь Fn, ограниченная линией Kn, стремится к пределу М. Но каждую линию Kn мы можем аппроксимировать с помощью многоугольника тсп с достаточно большим числом сторон, площадь и периметр которого сколь угодно мало отличаются от площади и длины линии Kn. Мы можем далее" немного деформировать многоугольник тгп, не нарушая его аппроксимирующего характера, так, чтобы его периметр в точности равнялся 21, и максимальная последовательность K1, K2, K3,... может быть поэтому заменена максимальной последовательностью допустимых в нашей задаче многоугольников Tr1', тг2', TT3',...; число сторон каждого из этих многоугольников мы можем считать четным, так как (2т—1 )-угольник может быть рассматриваем как 2/я-угольник, две смежные стороны которого образуют угол в 180°. .Но мы знаем из § 1, п. 1, г, что из всех 2/и-угольников периметра 21 наибольшую площадь имеет правильный многоугольник. Поэтому мы тем более получим максимальную последовательность нашей проблемы, если заменим каждый многоугольник пп соответствующим правильным многоугольником. Но при возрастании числа сторон эти правильные многоугольники имеют своим пределом окружность длины 21, а так как площади многоугольников стремятся к пределу М, то этот круг имеет площадь M и служит поэтому решением нашей задачи.
2. Метод Ритца (Ritz). Минимальные последовательно с т и. Рассуждения в предыдущем примере основаны на принципе общего характера. Рассмотрим какую-нибудь вариационную проблему вида D [tp] = minimum, где D [ср] означает интеграл от некоторого заданного выражения, составленного из функции tp и ее производных до h-го порядка включительно, задавая при этом как область интегрирования, так и класс допустимых функций сравнения (р. При этом является безразличным, идет ли речь о простом или кратном интеграле и содержатся ли в подинтегральном выражении только производные пер-11* 164
Основные понятия вариационного исчисления
