Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Простейший случай представляет выражение F(x,y,y'). Из тождественного обращения в нуль диференциального выражения Эйлера
Fy — Fyx — Fyyy1 — Fyyf = О §'3 Уравнения Эйлера
183
следует, что Fyy=0, так что выражение F имеет вид:
F=A(x,y)+j?B(x,y). Тогда уравнение Эйлера переходит в условие интегрируемости:
ЪА ЬВ
ч - = 0.
йу ЙЛГ
В этом случае интеграл
j Fdx = I (А +УВ) dx = j (Adx -j- Bdy)
Xo Xo
не зависит от пути интегрирования 1J1 согласно известной теореме интегрального исчисления.
Считая верхний предел х переменным, мы получим, что наш интеграл будет некоторой функцией G (х,у) от своего верхнего предела и тогда
d
f(x,y,y)=—G(x,y).
Это соотношение является не только необходимым, но также, как в этом легко убедиться, и достаточным условием тождественного обращения в нуль диференциального выражения Эйлера от функции F.
Аналогичный факт имеет место и для подинтегрального выражения
вида F(x,y,y',___, Уи)), а именно:
Для того чтобы диференциалЬное выражение Эйлера [/rJ у тождественно обратилось в нуль, необходимо и достаточно, чтобы функцию F можно было представить в виде:
F=^, dx
где G=G (х,у,у\ ... ,У"-1)) содержит только производные от_у не выше п—1-го порядка.
В достаточности этого условия можно убедиться либо непосредственно путем простого вычисления, либо на основании того, что интеграл
Г* '
\ Fdx зависит в этом случае исключительно от граничных значений функ-
Xv
ции у и Производных у, У, . . . , У"-1) при X = X0 и X = X1. Поэтому, если мы будем произвольным образом вариировать функцию у внутри промежутка интегрирования, оставляя неизменными граничные значения, то наш интеграл не будет при этом изменяться, вследствие чего первая вариация этого интеграла, а вместе с тем и диференциальное выражение Эйлера должны тождественно равняться нулю.
Чтобы убедиться в необходимости этого условия, рассмотрим .семейство функций у (лг, а), зависящее от параметра а, с постоянными, т. е. не зависящими от а граничными значениями у, у',___
<) Как мы сейчас увидим, эта независимость от пути вытекает также непосредственно из тождественного обращения в нуль диференциального выражения Эйлера. 184
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
Обозначим через J (а) значение, принимаемое интегралом, если заменить функциональный аргумент функцией у=у(х, а). Тогда из выражения для первой вариации следует, что
-г = \ ГЛ dx, йз J L ЛУЬ2
и поэтому в силу нашего предположения
Таким образом интеграл J не зависит от а и является поэтому функцией только от координат Jr0 и X1 и граничных значений функции у и ее первых Tl — 1 производных на концах промежутка интегрирования. Оставляя неизменными X0 и начальные значения функции у и 'ёе производных и считая верхний предел x1 и значения у, у', при x = x1 пере-
менными, мы получим, что
X
F{x,y,y',,..,yW)dx = G(x,y,)t, ...,У"-«),
откуда диференцированием по верхнему пределу мы и получаем:
F=™ dx'
что и требовалось доказать.
Для интегралов, функциональным аргументом которых служит функция от многих переменных, в том улучає, когда подинтегральное выражение F (х, у, и, их, и) содержит тоЛько производные первого порядка, имеет место совершенно аналогичное соотношение. Именно, путем рассуждения аналогичного предыдущему, мы получаем следующую теорему: Для того чтобы диференциальное выражение Эйлера [F]u обращалось в нуль тождественно относительно функционального аргумента и, необходимо и достаточно, чтобы выражение F можно было представить в виде:
где А и В суть функции от x, у и и. Выражения такого вида мы называем дивергенциями. Выражение, изображаемое в виде дивергенции, характеризуется тем, что двойной интеграл ^ Fdxdy не меняет
"а
своего значения, если функция и вариирует так, что при этом изменяются только значения функции в некоторой внутренней части области G1 тогда как на границе области G как функция и, так и ее частные производные остаются без изменения.— Согласно теореме Гаусса,
П Fdxdy= {Ady —Bdx), §'3
Уравнения Эйлера
185
где стоящий справа интеграл является криволинейным интегралом, взятым вдоль линии Г в положительном направлении.
Несколько сложнее обстоит дело в том случае, когда подинтеграль-ное выражение F содержит частные производные высших порядков.
В этом случае, хотя и остается в силе теорема, что для того чтобы выражение Эйлера обращалось в нуль, необходимо и достаточно, чтобы иодинтегральное выражение F можно было представить в виде:
F= Ax+ By,
т. е. чтобы F было выражением, изображаемым в виде дивергенции, однако в общем случае невозможно выбрать А и В так, чтобы высший порядок производных, содержащихся в этих выражениях, был ниже, чем в F.
Простейшим примером выражения второго порядка, изображаемого в виде дивергенции, является выражение:
иххиуу-
ху
Для этого выражения имеет место соотношение:
F=(uXuvv)x -їихиху)у = — (иуиху)х-Т- ("/Jv =
X уу'х »
-Я'
("X-2(UxU y)xy+(UJl
J-Ixx
Другой пример дается тождеством:
