Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предпошлем доказательству следующую лемму: Если <р(лг) есть некоторая кусочно-непрерывная в промежутке интегрирования функция и если имеет место равенство:
I if (х) ї) (х) dx = 0
X0
для всякой кусочно-непрерывной функции щ (х), удовлетворяющей условию: х
j і) (л;) dx = О,
Лч)
то <р (л) есть постоянная.
х\
Для доказательства заметим, что соотношение [уг^х=0 имеет
*j
х0
место при любом постоянном (р. Определим постоянную с так, чтобы
j («р — c)dx = 0;
так как из условия
Xi
Jtp т] dx= 0 §'3 Уравнения Эйлера
191
вытекает условие:
I
(ср — с) 7) dx = О
и так как функция ср'—с удовлетворяет требованию, наложенному на функции 7j, то мы имеем право положить здесь Tj = If—с, откуда получаем:
і
і
Xo
(ср — cfdx = 0.
Поэтому ср = с, что и требовалось доказать. Таким же путем получается следующая более общая теорема:
Если кусочно-непрерывная функция]) ср (х) удовлетворяет условию
!
^ ср T1 tfx = О
Xo
для всех кусочно-непрерывных функций Ti, удовлетворяющих условиям
X 4 Xj X^
7] ^Zjc = О, J XTidX = O,..., ^хпт^х=0,
X0 X0 Xq
то <р есть полином п-й степени:
ip = C0 -f C1X -f C2X2 -+...+ CnXn.
Перейдем теперь к доказательству теоремы Дюбуа-Реймона. Обращение в нуль первой вариации означает, как и раньше, что для всякой непрерывной функции Z (х), имеющей кусочно-непрерывную производную и обращающейся в нуль на концах интервала, имеет место равенство:
jca
(F Z +FyOdx = 0, где Z(X0) = Z(X1) = O.
Xo
Положим для краткости Fy = A', Fyl = B, \ Fydx= А. Мы получаем тогда, интегрируя по частям:
.V1 X1
j (A'Z + BZ')dx= <^Z,(B — A)dx = 0.
Xo Ло
') См. глава II, стр. 41. 192
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
В качестве функции ?/ = 7] мы можем здесь выбрать произвольную кусочно-непрерывную функцию, удовлетворяющую только условию:
Tjrf X = Z(X1)-Z(X0) = O.
X1
Применяя доказанную выше лемму, мы получаем отсюда, что
X
'-1W'
В —A = Fyl-\ FyCtx = C, (34)
где с не зависит от х. Это уравнение заменяет диференциальное
X
с
уравнение Эйлера. Так как функция ^ Fydx диференцируема, то и Fyl
-Vo
диференцируема. Поэтому, диференцируя почленно уравнение (34), мы получаем уравнение Эйлера:
^cFyt-Fy = O. (34')
Если F дважды диференцируема по своим аргументам и если, далее, выполнено условие Лежандра Fyiyi 0, то отсюда следует, что функция у', которая по условию только кусочно-непрерывна, обязательно непрерывна и имеет непрерывную производную. В самом деле, так как Fylyl =^= 0, то мы можем из уравнения Fy (х, у, у') = Fyl выразить у' через X, у, Fy,, так что y'=w(x, у, Fyl), где w — непрерывно дифе-ренцнруемая функция. Но на основании (34) Fyl является непрерывной функцией от X, поэтому у' также непрерывна. Далее, так как аргументы у и Fyt функции W непрерывно диференцируемы, то отсюда следует, что функция у' также непрерывно диференцируема.
Применяя приведенную выше обобщенную лемму, мы можем непосредственно распространить результат Дюбуа-Реймона на подинтеграль-
ные выражения вида F(x, у, у1,___, у^). Подробное проведение этого
доказательства предоставляем читателю.
Для вариационных проблем со многими независимыми переменными дело обстоит несколько сложнее. Здесь уже не имеет места теорема, что если для проблемы с подинтегральным выраженлем F(x, у, и, ихиу) расширить класс функций сравнения, включив в него все непрерывные функции с кусочно-непрерывными производными, то из обращения в нуль первой вариации само собой вытекает диференциальное уравнение Эйлера и существование и непрерывность вторых производных. Однако н в этом случае справедлива следующая теорема Гаара, аналогичная теореме Дюбуа-Реймона.
Обращение в нуль первой вариации интеграла от F (х, у, и, их, иу) для непрерывной функции и, имеющей кусочно-не прерывные §'3
Уравнения Эйлера
193
производные их иу равносильно уравнению
ДО Fu dx dy = j FaJy - Fu d г, (35)
В R
где стоящий слева интеграл распространяется по произвольной одно-связной части В области G, ограниченной кусочно гладкими кривыми, а стоящий справа криволинейный интеграл взят в положительном направлении вдоль границы R области В. В частном случае, когда и не содержится явно в F, из теоремы Гаара следует таким образом обращение в нуль стоящего справа интеграла для всякой замкнутой кривой R, что эквивалентно существованию во всякой односвязной части области О функции Ф (х, у), удовлетворяющей системе диференциальных уравнений
F =Ф ¦ F =—Ф
ах wJ" иу ^x'
Приведенное выше интегральное соотношение или соответственно эта последняя система диференциальных уравнений первого порядка заменяет в этом случае диференциальное уравнение Эйлера.
Для доказательства теоремы Гаара достаточно убедиться в справедливости нашего интегрального соотношения для специального случая, когда область В представляет собой квадрат. Тогда теорема непосредственно распространяется и на область, состоящую из конечного числа квадратов, а отсюда, применяя обычный прием аппроксимирования и перехода к пределу, можно перейти к произвольной области, удовлетворяющей перечисленным выше требованиям.
