Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
P1
стационарное значение интеграла J= \ F (х, у, у') dx при дополнитель-
^v >0-
условиями. 208
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
ном условии, чтобы функция у, кроме граничных условий, удовлетворяла также требованию:
K=Jg (X, у,
У) dx = c,
(51)
X0
где с—заданное постоянное число.
Чтобы решить эту задачу, мы поступим следующим образом: допустим, что граничные значения у (х0) =у0, у (X1)=^1 заданы и что у=у (je) является искомой экстремалью. Рассмотрим семейство кривых:
У+ Ъу= У (X) + S1 ч (X) + е2 S (*),
где ?, и S3 служат параметрами, a ij (х) и С (л:) удовлетворяют условиям j) (X0) = IQ (X1) = ? (-?} = С (X1) = 0, будучи в остальном совершенно произвольными функциями. Тогда функция
X,
Ф(Є|.Єі> = ^(*, -V-H іЧ+ЬС. У' + Si 4' + ? Odx
должна иметь при S1 = О, S2 — 0 стационарное значение по сравнению со всеми достаточно малыми по абсолютной величине значениями S1, S2, для которых
Jg(лг, у + Sl4-J-S2S, у' + 6,4' + S1 Odx = с.
Xo
На основании упомянутых в § 1 теорем относительно обыкновенных maxima и minima существуют две постоянные I0 и X, не обращающиеся одновременно в нуль, такие, что
^s1
Xo
Ьє0
>0 рч*. у + eI Ч + Є, У + е, ч' + S2 С) dx +
- Xo
+X j G (X, у + S1 г) + S2 С, у'+Sl4'+ S2 C)dx
X1
J F (X, у + S1 г; + S2 С, у' + S1Y1' + S2 С) dx +
L х0
+:і. J G (X, у + S1 г, + е, с, У + S1 г/ + S2 О dx
О,
ч = о
Ies =0
:0.
=0 §7
Вариационные проблемы с дополнительными условиями
209
Отсюда:
X1
X0 X1
X0
Из первого уравнения следует, что отношение постоянных X0 и к не зависит от с; но тогда из второго уравнения в силу "произвольности функции ? следует, что:
К [Пу + MGljl = O.
Если X0 не равно нулю, т. е. если функция у не удовлетворяет уравнению: (0,/-0,=.0*). (52)
то мы можем положить X0=I, и мы получаем тогда:
Мы пришли, таким образом, к следующему результату: Исключая тот особый случай, когда имеет место уравнение (52), мы получим уравнение Эйлера рассматриваемой вариационной проблемы, поступая по следующему правилу: составим с помощью соответствующего параметра X подинтегральное выражение F*=F-\-\G и приравняем нулю вариацию этого выражения, не обращая внимания на заданное дополнительное условие. Общий интеграл содержит тогда, кроме двух постоянных интегрирования, еще параметр X. Эти три параметра определяются с помощью граничных условий и уравнения K= с. Простейший пример дает обыкновенная изопериметрическая задача, в которой
F=Yl +у2 и 0=у.
Мы получаем:
~(КГ+УЧ-Ху)| (/і+У'+х,)=о
или
dxYl-t-y'*
эткуда мы получаем в качестве экстремалей окружности.
В качестве второго примера принедем определение положения равновесия тяжелой однородной нити, подвешенной на своих концах. Здесь
*) Как легко видеть, в том частном случае, когда существует только одна
X1
единственная функция .у, удовлетворяющая дополнительному условию J Gdx=^c,
X0
эта единственная функция у должна удовлетворять уравнению (52). 14 Ky рані- Гильберт. 210
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
F=y -sT у'2 H G = JZrI -j-у'2- Применяя изложенный выше способ интегрирования диференциального уравнения Эйлера в случае Fx= 0 (см. стр. 196), мы получим:
г* —У К, ~(у-\- *)( VaH1/* —г*-— ) = Х -=с,
у ^ V ^ Kl +у") IrI +у'2 j + X=cch+ c1 у
Таким образом искомая кривая, представляет собой цепную линию.
В качестве примера, когда имеет место отмеченный выше особый
і
случай, рассмотрим дополнительное условие ^V^l-f-у'2с?д;= 1 при гра-
0
ничных условиях: у(0) = 0, _у(1) = 0. Здесь, очевидно, имеется только одна единственная кривая сравнения у = 0, и эта кривая действительно, удовлетворяет диференциальному уравнению (52); каково бы ни было F, решением задачи всегда будет функция у= 0 2).
2. Конечные дополнительные условия. Рассмотрим теперь вариационные проблемы с дополнительными условиями, в которых требуется найти стационарное значение интеграла
-vi
ч
У, z, У, z') dx,
причем искомые функции у (л:) и z(x), кроме граничных условий
У(Хо)=Ус У(хі)=Уі> Z(X0) = Z0, Z(X1) = Z1, должны удовлетворять еще дополнительному условию вида:
G(x,y,z) = 0, (54)
или, геометрически выражаясь, требуется найти пространственную кривую у(х), z(x), обладающую заданным экстремальным свойством и лежащую на заданной поверхности G(x,y, г) = 0 2).
Чтобы получить необходимые условия экстремума для функций у (дт), z (х), естественно поступать так: разрешим уравнение G = 0 относительно одной из функций, например z(л) и сведем таким путем нашу проблему к нахождению одной функции у(х). Согласно элементарным теоремам анализа уравнение G=O разрешимо относительно z, если
вдоль искомой экстремали -=^=0. Пусть z = g(x,y).
о Z
Принимая во внимание соотношение: Gx у Gy -j- 2' Gjj = O или
z' = — v'-f- , мы можем z' рассматривать как функцию от х, у к у ду дх
Об этом особом случае см. Carathiodory С., Uber die diskontinuierlichen Losungen in der Variationsrechnung, Dissert. Gottingen 1904, стр. 45 и след.
