Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
= о = 0.
: 0
ьт ът
Предполагая, что частные производные — и — не обращаются одновременно в нуль вдоль кривой T (х, у) = 0, мы можем допустить, что X0 = 1, ибо, если бы >.„ равнялась нулю, то мы получили бы, что
ът ът
— = 0 и — = 0 при t = t0, вопреки допущению,
0V §5 Граничные условия
203
Так как функции x(t) и y(t) должны удовлетворять диференциальному уравнению Эйлера, то мы получаем на основании наших выражений для первой вариации следующие уравнения:
= ч(кТу-%-) = 0 при t = t0;
исключая 1, мы получаем отсюда та^ называемое условие трансверсальности
%*ту-%}тх = о. №
Если конец экстремали также может перемещаться по некоторой заданной кривой, то и для этой точки мы получим, разумеется, также соответствующее условие.
Условие трансверсальности выражает взаимную зависимость между направлением искомой экстремали и заданным направлением возможного перемещения начальной точки экстремали. Это соотношение линейно относительно Tx и Ty; поэтому, если задано направление экстремали, то условие трансверсальности однозначно определяет направление возможного перемещения начальной точки экстремали, соответствующее данному на іальному направлению экстремали (обратное может, однако, и не иметь места).
Если задана кривая T (х, у) = 0, вдоль которой может перемещаться начальная тонка экстремали, то можно построить семейство трансверсальных к этой кривой экстремалей, зависящих от одного параметра, проводя через каждую точку кривой Т(х, у) = 0 в транс-версальном к ней направлении интегральную кривую диференциального уравнения Эйлера.
Возвращаясь к неоднородной форме уравнения экстремали вида: у=/(х), мы получаем:
^-x = F-^Fy = F-y>fу; =Fy. (47)
Следовательно, условие трансверсальности принимает вид:
(F-y'Fy,) Ty-FyTx = 0. (48)
Если же кривая, по которой может перемещаться начальная точка экстремали, задана уравнением вида y = g(x), то условие трансверсальности выражается уравнением:
-Z7+(^-У )/^=0.
Подчеркнем при этом, что этот последний вид условия трансверсальности теряет смысл, если кривая Т(х, у) = 0 имеет в рассматриваемой точке касательную, параллельную оси у; в этом случае условие трансверсальности сводится, как это следует из уравнения (48), к естественному граничному условию Fy = 0.
Совершенно аналогично обстоит дело и в случае, когда требуется найти пространственную кривую у=у(х) z = z(x), начільная точка которой должна лежать на затанной поверхности Т(х,у, z) = 0 и конец 204
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
которой X1, yv Z1 задан неподвижно и для которой интеграл
Xl
J = ^ F (х, у, г, У, г') dx
Xo
должен иметь стационарное значение.
Введя параметрическое изображение кривой и полагая
F(x, у, z, Z-, 4Л ж = g (X, у, z, X, у, г) , X X /
мы получим совершенно таким же образом, как и раньше, в качестве условий трансверсальности два уравнения:
^^:7-, = ?:?? (49)
или в неоднородной форме:
Tx-Ty-Tz = (F-VFyl - Z1F11): Fy: Fzv (50)
Эти условия также приводят в соответствие каждой точке заданной поверхности T= 0 одно или несколько трансверсальных направлений, так что всей поверхности соответствует семейство экстремалей, зависящее от двух параметров.
Обратно, если задано направление экстремали, то ему однозначно соответствует единственное трансверсальное направление касательной плоскости к поверхности T= 0 (трансверсальное направление поверхности).
Само собой разумеется, что и для другого конца кривой, если он также может перемещаться по некоторой поверхности, имеют место такие же условия трансверсальности.
Для случая геодезических линий на поверхности или кратчайших линий в пространстве понятие трансверсальности совпадает с понятием ортогональности. Например, при F =Y\ у12 Zn условие трансверсальности гласит:
T : T : T = I :v' Z1. 1 ж 2 у ' г ' * •
при
Fs= VeTWT^sT2
мы получаем
Tx-Ty= (e+fy'):(f+gy),
т. е. условие перпендикулярности линии Г = 0 к геодезической линии.
Если мы, таким образом, из какой-нибудь точки P поверхности проведем пучок геодезических линий, то ортогональные траект рии этого пучка пересекают геодезические линии пучка трансверса гьно. Длина геодезической линии от точки P до точки пересечения Q геодезической линии с какой-нибудь ортогональной траекторией пучка остается при перемещении точки Q по рассматриваемой ортогональной траектории все время стационарной. Отсюда следует, что эта длина постоянна и что ортогональные траектории — так называемые геодезические круги — являются замкнутыми линиями.
Во втором томе мы остановимся подробнее на связи, существующей между экстремалями и трансверсальными траекториями. Здесь мы доба- §6
Вторая вариация и условие Лежандра
205
вим только еще следующее замечание: в случае распространения света трансверсальные кривые или поверхности представляют собой не что иное, как волновые поверхности световой волны, распространяющейся п < направлению лучей, являющихся экстремалями. При этом мы понимаем под трансверсальной кривой или поверхностью такую кривую или поверхность, которая в каждой своей точке пересекает заданное семейство экстремалей в трансверсальной направлении. Если трансверсальность не совпадает с ортогональностью, то это значит, что направление светового луча не совпадает с направлением нормали к поверхности световой волны.
