Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
§6. Вторая вариация и условие Лежандра.
Диференциальное уравнение Эйлера представляет собой только необходимое условие экстремума. Для того чтобы заданный интеграл принимал экстремальное значение вдоль данной экстремали, удовлетворяющей соответствующим граничным условиям, необходимо, чтобы эта экстремаль удовлетворяла еще другим необходимым условиям, выражающимся в форме нераренств; вывод этих неравенств и усиление их с целью получения достаточных условий экстремума составляют важный отдел классического вариационного исчисления. Подробно мы остановимся на этих вопросах только во втором томе, здесь же мы сделаем только первый шаг в этом направлении, а именно выведем для простейшей задачи вариационного исчисления следующий критерий Лежандра: если экстремаль <р = «(*) обращает в минимум интеграл
J [ip] = \ F{x, if, <р') dx относительно всякой непрерывной и имеющей
Xa
кусочно-непрерывную производную функции сравнения If {х), ТО вдоль всей экстремали необходимо должно иметь место неравенство:
Для доказательства разложим выражение
согласно формуле Тейлора:'
где
/[(p-j-ejj]= •/[?] + єЛ[<Р. І*« ЧІ»
X0 X1
h й. ЧІ =J C7wIi2 + 2 Fw-T1T1' + FwTi'2) dx 206
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
причем горизонтальная черта над выражениями Z7lftpl F , Ftfltfl означает, что мы должны в этих выражениях заменить аргументы у и <р' выражениями (р = ф ріг;, <р' = f' -f- Pj)'' где P есть некоторое число, содержащееся между нулем и е. Так как интеграл J стационарен при<р = и, то J1 I«, JjJ==O, и мы получаем в качестве необходимого условия минимума неравенство:
J2 [І.
при любом выборе функции Ї).
Если в выражении J2 [if, J)] мы будем неограниченно приближать к нулю параметр є, то это выражение будет иметь своим пределом интеграл
X1
Xo
и мы получаем в пределе необходимое условие минимума в форме:
Л Iй-
или, вводя выражение:
є2
^="2 Л ["¦ 4L
которое называется „второй вариацией" интеграла J, мы можём записать это условие в виде:
S2JSsO.
Из этого интегрального условия мы выведем теперь, пользуясь произвольностью функции J), формулированное выше в качестве необходимого условия минимума диференциальное условие Лежандра, которое должно выполняться в каждой точке X промежутка интегрирования. Для этой цели выберем в качестве функции ij специальную кусочно-линейную функцию, которая только в окрестности некоторой точки X = а отлична от нуля, а именно пусть:
T1 = а 11 + * д при а—оsS х^а,
Jj = IzrO —Х в gj при a ^ X а -J- о
и
Ij = O для всех остальных значений х. Интеграл J2 [н, TjJ сводится тогда к интегралу, взятому в пределах а — с лт =? а-{-о, и во всем этом интервале rj'2 = -—. Если мы теперь станем неограниченно приближать о к нулю, то первые два слагаемых интеграла J2 [и, j;] будут стремиться к нулю, тогда как третье слагаемое будет иметь своим пределом значение 2Ftfltfl в точке х = а. Этот предельный переход приводит нас, таким образом, к формулированному выше условию Лежандра. §7
Вариационные проблемы с дополнительными условиями
207
В случае многих неизвестных функций (р, ф,... соответствующее условие Лежандра заключается в требовании, чтобы квадратичная форма, коэфициенты которой образуют матрицу
никогда не принимала отрицательных значений.
Вместо доказанного только что условия Лежандра: Ftfl^l ^ 0, не исключающего возможности обращения в нул функции Ftfltf,, часто играет важную роль более сильное условие Лежандра:
Если это условие выполнено не только, когда функция со равна экстремальной функции и, но и для любых значений ли и, лежащих внутри заданной области, и при совершенно произвольных значениях и', то мы это условие называем усиленным условием Лежандра.
Если кроме условия Лежандра имеет место также неравенство:
для всех и их, принадлежащих заданной области, и для любых значений и', то квадратичная форма, стоящая в J2 под знаком интеграла, является определенной положительной формой, и в этом случае всякая лежащая в рассматриваемой области экстремаль, действительно, дает минимум. Это простейшее, но очень грубое достаточное условие будет нами заменено во втором томе другим, более тонким условием.
§ 7. вариационные задачи с дополнительными
В рассмотренных до сих пор вариационных задачах функциональный аргумент не был подчинен никаким другим условиям, кроме соответствующих граничных условий, и искомое решение вариационной задачи определялось с помощью дифереициальных уравнений Эйлера и заданных или естественных граничных условий. Перейдем теперь к рассмотрению таких вариационных задач, в которых функциональный аргумент кроме граничных условий должен удовлетворять еще дополнительным условиям другого рода, которые относятся к совокупности всех значений функционального аргумента и под влиянием которых само диференциальное уравнение Эйлера существенно изменяет свой вид.
1. Изопериметрические задачи. Простейшим типом задач такого рода служит изопериметрическая задача, которую мы формулировали в § 1, п. 3, г в общем виде следующим образом. Требуется найти
