Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
!.Преобразование обыкновенных проблем минимума с добавочными условиями. Для лучшего понимания дальнейшего мы предпошлем некоторые замечания относительно обыкновенных проблем минимума с конечным числом независимых переменных и рассмотрим ряд преобразований этих проблем, основанных на следующем непо-средствено очевидном основном принципе: Если функция /(¦*¦], jcj,..., xn) имеет в точке X1 = Z1 (і = 1,2,..., п) сп.ационарнсе значіние при заданной системе добавочных условии, и если числа Zi удоелетьоряют
некоторому сої тношению г (S3_____ S72) = 0, то фу нкция f остается
стационарной в точке X1= Si также и в том случае, если лыс самого начала присоединим к даъной системе дсбавсчных условий в качестве еще одного добавочного условия соотношение г (хх,х2,___,хп) = 0.
Начнем со следующей проблемы:
I. Требуется найти стационарное значение функции / (х, у) при добавочном условии g{>c, у) ^= 0; при этом должны выполняться обычные условия непрерывности и диференцируемости, и, кроме того, gx jT gy должно быть отлично от нуля в точке стационарности. Применяя правило множителей Лагранжа, мы заменяем проблему I следующей эквивалентной ей проблемой:
II. Найти стационарное значение функции F(x, у; 1)=/(х, у) -j-Xg^x, у), рассматриваемой как функция от трех назависимых переменных X, у, Условие стационарности dF= 0 Еквивалентно трем соотношениям:
Л+tejt = 0» /у+**,= 0, g= 0.
0 Эту практическую сторону вопроса мы сможем систематически развить только во втором томе Укажем згесь на ра'оту Е. Treffti'л „Ein Gegenstuck zum Ritzschen Veriahrtn'. Труды второго международного конгресса по технической механике, Цюрих 1927, стр 131, где впервые было произведено с помощью этого способа вычисление пределов, между которыми заключается искомый экстремум. §9 Приведение вариационных задач
223
Обратно, исходя . из проблемы II, мы можем тотчас же свести ее к проблеме I, присоединяя на основании нашего общего принципа к условиям проблемы в качестве явно выраженного добавочного условия соотношение g= О, само собой выполняющееся при достижении фунцией F(x, у;Х) своего стационарного значения.
Из проблемы II мы можем дальше получить другую эквивалентную проблему, т. е. проблему, имеющую те же точки стационарности, присоединяя в качестве добавочных условий оба других соотношения, выполняющихся для решения проблемы II. Мы тогда получаем проблему:
III. Найти стационарное значение функции F(x,у;X) =/(лг, y)-\~kg(x,y) при добавочных условиях fx-f-Igx = 0, fy-\-kgy=0. Предполагая, что в окрестности точки стационарности можно из последних двух уравнений выразить х и у в виде функций от X, мы получим, подставляя эти значения х, у в функцию F(x, у, X), что F(x, у; Х) = ф(Х), и это приводит нас к еще одной проблеме, эквивалентной предыдущим, а именно:
IV. Найти стационарное значения функции ф(Х). Уточним теперь полученные нами результаты, требуя, чтобы в искомой точке рассматриваемые функции были не только стационарны, но и достигали максимума или минимума. Предположим, что в проблеме I, которую мы теперь обозначим через If, функция / в точке х, у действительно имеет минимальное значение / (X, у) = d. Мы рассматриваем тогда проблему:
IIr. (/rI к, у, X) = f-\- kg= min при постоянном X; предположим, что для любого значения X, содержащегося внутри некоторой окрестности значения X = X, определенного с помощью правила множителей Лагранжа, функция F(x, у; X) имеет действительно минимум, который мы обозначим через dk = ty(k) и который характеризуется уравнениями fx-j- Igx = О, fy-\-\g = 0. Тогда имеет место неравенство:
ибо проблема I' с минимумом d получается из проблемы II' с минимумом dx путем присоединения к этой второй проблеме добавочного условия g= 0, ограничивающего область изменения точек сравнения. Предполагая дальше, что уравнения Д.-}- Igr = 0, fy-\- Igy= 0 однозначно определяют X и у как функции от X, мы получаем, что d = d\, так что
d = maxdjL,
т. е. d является максимумом функции ф(Х) или другими словами, наибольшим из наименьших значений фукции F=f-\- lg, причем минимум мы находим при постоянном X, а затем, изменяя X, мы находим то значение X, при котором наименьшее значение функции F достигает максимума. Мы можем поэтому при выполнении наших предположений характеризовать d с помощью проблемы:
III'. F(X, у; X) = f-\~ kg== шах = d при добавочных условиях fx-\--(-Xolr = O, ZyJrIgy = O. Чтобы пояснить геометрически эту задачу на-' хождения максимума наименьших значений, рассмотрим следующий пример: f=(x-\- 1)г-\-у2 = тіи при добавочном условии g=2* = 0, или 224
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
в геометрической формулировке: найти низшую точку вертикальной параболы, по которой параболоид z = (х -J- I)2 -f-у2 пространства х,у, z пересекается плоскостью Jt= 0. Этой низшей точкой будет, очевидно, вершина этой параболы. Непосредственно очевидно, что наименьшее значение функции z = (х 1 )2 -j-у* при рассматриваемом добавочном условии равно d=\. Если мы теперь рассмотрим параболоид z=f-\-\g= = (je —|— X —I— I)2+.У2— 2),— I2, где X постоянно, то этот параболоид при всяком X проходит через интересующую нас параболу, и вершина этого параболоида всегда лежит ниже вершины параболы. При изменении X вершина параболоида перемещается, и самым высоким из всех возможных положений вершины параболоида, выше которого она не может подняться, является вершина неподвижной параболы. Вершина нашей параболы является таким образом самой высокой из низших точек рассматриваемых параболоидов.
