Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
8) Заметим, что в этой геометрической формулировке выделена координата х, так что ие все кривые, лежащие на поверхности Q= 0, считаются допустимыми. §7
Вариационные проблемы с дополнительными условиями
211
и исключить из F(x,y, z, у', Тогда
Fix,у, z,y, z') = F gix,y),y, ^4-/ ,
и у должно удовлетворять уравнению Эйлера:
которое после простого преобразования приводится к виду:
Vy -fJ-H7V-fJ i=0-
Ър
С другой стороны, G,-(-Gz-T5 = O, поэтому: " оУ
(F"y-FyY-(Fzl-Ft) = GyGi.
Таким образом либо вдоль искомой экстремали Gy и Gz тождественно обращаются в нуль, что противоречит сделанному выше допущению, либо существует фактор пропорциональности X = X (я) такой, что
Fry-Fy+ Uiy= 0; Fa- Fz + X Gss = O. (55)
Полагая
F* = F+\G,
мы можем записать наш результат в форме уравнений Эйлера для подинтегрального выражения Fli'.
- [F%=Fy-Fl=O;-[F*]a = /V - Fl = 0.
Эти уравнения являются необходимыми условиями экстремума за исключением того особого случая, когда вдоль экстремали одновременно имеют место уравнения:
Gy = 0 и G2 = O.
Тогда в силу соотношения Gx+У Gy +z' Gz = O должно иметь место и третье уравнение: Gx=0.
Как и в соответствующих проблемах диференциального исчисления, множители X называются множителями Эйлера или Лагранжа.
Задачи обоих типов формально решаются с немощью одного и того же приема: мы составляем с помощью множителя X выражение F+\G=F* и образуем диференциальные уравнения Эйлера для этого выражения. Разница заключается только в том, что в первом случае X является постоянной величиной, а ео втором случае X = Xfjc) является функцией от х. Уравнения Эйлера вместе с до-полнительны/А условием и граничными условиями дают ровно столько условий, сколько нужно для н /хождения жітремали.
Простейшим примером вариационной задачи с дополнительными условиями этого вида служит задача нахождения геодезических линий на заданной поверхности G ix,у, z) = 0. Здесь F= у/1 -+ у'г+ г'2, и мы получаем для геодезических линий, заданных в параметрической 14* 212
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
форме х=х(t), y=y(t), z=z(t), следующие уравнения: d X d у d г
--¦ ----— —====- = G •G •О
dt V X2-+-у*+ z* 'dtVk*-\-jP + г* 'dtYx2 + y2+z2 у '
или
dt Vxs-t у2 + Z2 d у
dtVx2+ V2+ Z2 d z
IGx = O, XGv = О,
dt
V х2+у2 + Z2
-XG= 0.
Эти три уравнения определяют вместе с четвертым уравнением G=О геодезические линии и множитель X (х). Это изображение геодезических линий обладает тем преимуществом по сравнению с приведенным выше видом диференциальных уравнений геодезических линий, что в этой последней форме непосредственно выражаются главные свойства геодезических линий, например то свойство, что соприкасающаяся плоскость геодезической линии проходит через нормаль к поверхности. Доказательство этого мы можем предоставить читателю.
3. Диференциальные уравнения в качестве дополнительных условий. Тогда как в проблемах только что рассмотренного типа введение множителя X представляет собой только формально изящный искусственный прием, при дополнительных условиях более общего вида
G(x,y,z,y,z') = 0, (56)
где выражение G не получается путем диференцирования по х некоторой функции H{x,y,z), т. е. не представляет собой вполне интегрируемого биференциальЛрго выражения, введение множителя X является неизбежным по самой сути проблемы. Такие дополнительные условия называют также „неголономными" условиями. Простейшим условием такого рода служит, например, условие у — Z = 0. Если бы это условие было голономным, т. е. эквивалентным конечному условию Н(х,у, z) = = const, то значения х, у, z нельзя было бы выбрать совершенно произвольно, тогда как данное условие у' — z = О относит только ко всякой произвольной системе значений X, у, г значение у' = z. Неголо-иомные условия встречаются в механике во всех тех задачах, в которых уравнения, связывающие движение, кроме координат, содержат также и направление движения, как например при движении парохода, коньков или при качении шара.
Предыдущие типы проблем с дополнительными условиями можно считать частными случаями рассматриваемой общей проблемы. Для проблемы 2 это понятно само собой. Но и собственно изопериметрическая задача также может быть включена как частный случай в рассматриваемую проблему. Действительно, мы придем к изопериметрической § 8 Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера 213
задаче, если предположим, что выражение F не содержит вовсе величин z, z\ тоіда как дополнительное условие имеет вид:
2'-G (л, у,У)= О,
а граничные условия гласят:
у{х0)=у0, y(xj=yv z(x0) = О, Z(X1)=C.
Точно так же и случай обыкновенной проблемы минимума с производными высших порядков под знаком интеграла можно подвести как частный случай под рассматриваемую проблему. Так, например, проблема
г1
нахождения экстремума интеграла \ F(x, у, у', у") dx эквивалентна про-блеме нахождения экстремума интеграла ^ F (х, у, у', z') dx с ДОПОЛ-
^о
нительным условием z—у = 0. Во всех этих частных случаях мы получаем необходимые условия экстремума, поступая каждый раз по одному и тому же общему правилу: если искомое решение не удовлетворяет уравнениям Эйлера, соответствующим выражению О, то существует множитель \(х) такой, что искомое решение удовлетворяет уравнениям Эйлера, составленным для выражения:
