Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
F*=F + XG.
Способ множителей Лагранжа применим также и к формулированной выше обшей проблеме. Мы не приводим здесь доказательства и отсылаем читателя к соответствующей литературе 1). Наконец, подчеркнем, что все наши рассмотрения и результаты остаются в силе и для большего числа неизвестных функций и дополнительных условий. Что касается тех случаев, когда речь вдет об определении функций от многих независимых переменных, то хотя и не подлежит сомнению, что наши результаты справедливы и в этом случае, однако, пока еще не удалось получить доказательства для общего случая дополнительных условий, заданных в виде диференциальных уравнений с частными производными.
§ 8. Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера.
1. Выражение Эйлера, как градиент в функциональном пространстве. Инвариантность выражения Эйлера. Стационарность функции /(Jc1, Jt2,..., хп) в определенной точке может быть выражена условием:
grad/=0,
где grad/ означает градиент функции /, т. е. вектор л-мерного пространства, имеющий компоненты ZxiJx,,..., fx . Этот вектор обла.
«) См. Hilbert D.. Zur Variationsrechnung, Math. Ann., т. 6'2, стр. 351—370, 1906. В упомянутых на стр. 259 учебниках Больца и Адамара также можно найти подробное изложение этого вопроса. 214
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
дает следующим свойством: если п переменных* Jc1, х2,____ хп являются
какими-нибудь диференцируемыми функциями от параметра t, то функция /(JC11X2,..., хп) переходит в функцию f(t) такую, что
i=n
Ao=XV^Sgrad/. (57)
i=i
где поставленная сверху точка означает диференцирование по t, а* t> означает вектор перемещения, имеющий компоненты X1; скорость изменения функции равняется, таким образом, скалярному произведению вектора перемещения точки (X1, х2, . .., хш) на градиент функции /. Таким же образом и диференциальное выражение Эйлера, обращение в нуль которого характеризует стационарность рассматриваемого функционала, можно истолконать как градиент в функциональном пространстве.
Так, например, если функциональный аргумент <ь интеграла
Xi
J [<р] == J F(x> Ь tP')dx
*о
содержит, кроме независимой переменной X, еще и параметр Г, то J [ip] будет некоторой функцией J [<] от параметра t, и, поступая по правилам нахождения первой вариации, мы получим, если допустить, что значения <р на концах интеграла не зависят от t:
Xl
j (*)=j$>(*) [F^dx,
X0
где поставленная сверху точка снова означает диференцирование по параметру t. Эта формула совершенно. аналогична формуле (57) для функции /(Xj, х2,..., хг). Мы выражаем эту аналогию тем, что называем выражение [/•] градиентом функционала J [tp] в функциональном пространстве.
Вообще мы называем выражение G [<р], зависящее от функционального аргумента <р, градиентом функционала J [ср], если при замене функции (р произвольным семейством функций, зависящим от параметра t, мы для любого <р имеем соотношение'.
X1
Lj [<р] = JtfG [<р]А»с.
Так, например, градиентом функционала і і
\\K^,y)u{x)y(y)dxdy § 8
Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера
215
при условии К(х,у) =К(у, х) служит выражение:
і
2^K(x,y)<f(y)dy. о
Известному свойству инвариантности градиента функции при преобразовании независимых переменных соответствует аналогичное свойство инвариантности или лучше ковариантности выражений Эйлера при преобразовании содержащихся в интеграле функций в функции от новых независимых переменных. Эти свойства инвариантности мы выразим с помощью соответствующих формул преобразования. Введем для этого в случае функции от одной переменной вместо x переменную ? и положим:
F(x, у, У) = F і X (S)1 у, ^ 1
dx dt j
так что
тогда
X1 X1
j" [F] у T1 dx = A j F(x,y + ЄТ], У + «г/) dx | ^ =
Го
Отсюда следует в силу произвольности функции г] (ограниченной только условием обращения в нуль на концах интервала), что
И,=11*?- W
В случае двух независимых переменных получаем точно так же: F(x,y, и, их, uy) = F[x(l, т]), к, «^ + «,Ч*. к-Zy -f K11 ej =
= Ф(?, ч> kT1).
G G
JJ^^-Ift'lslJ«^ 216
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
откуда
*
Для большего числа независимых переменных выражение Эйлера преобразовывается совершенно аналогичным образом.
Выражаемое нашими формулами свойство инвариантности дает нам при преобразовании переменных в рассматриваемых диференциальных выражениях помимо формальной наглядности формул преобразования большую экономию в вычислительной работе, так как при вычислении этих формул мы можем обойтись без преобразования производных второго порядка.
2. Преобразование выражения Ди. Полярные координаты. Рассмотрим в качестве важнейшего примера подинтегральное выражение U2x -j- и2 -j- и2. Пусть при преобразовании х = лг (E1, S2, S3), У — У Sg, S8), z = z (E1, S21S3) квадрат линейного элемента
йхг -}- Ay1-}- dz"1 переходит в выражение ^ gik d?i d?k, где
і, k
_йлг 0лг by dy , bz Ъг
gK-Xi Х+Ц Ж+Щ^-
При этом определитель а, составленный из элементов gik, равен квадрату функционального определителя х, у, z по S3, S2, S3. Рассматриваемое выражение U2xArUiy+ и2 преобразовывается при этом, как легко убедиться, следующим образом:
