Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
F dI-F --0 tv*ds "У ds ~ U
вдоль границы Г, где s означает длину дуги, и, наконец,
для интеграла (38) должны удовлетворяться вдоль границы Г условия:
dy dx
F"xTs~ "У ~d~s '
dv dx
F — — F — = 0.
vxds vV ds
Понятие естественных граничных условий особенно важно благодаря тому, что оно может быть непосредственно применено к вариационным задачам более общего характера и. в части сти к такич, которые в явном виде содержат граничные значения искомы і функций. 200
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
В качестве примера приведем следующие выражения:
J=\^F (х, у, У) dx —V О>0) + Ф(Уі).
X0
где
^0 = V(O), Уі ===у (1)
или
(39)
J = ДО F(x,y, и, Ur, иу) -f- J Ф(5,М, Us) ds,
(40)
где
du
ты получаем следующие выражения для вариации:
Xl
^=J [/7], by dx + W (Л) + Fyl [X1, у (AT1), У (AT1]} Ьу, —
— W (?) + Fy, [-xrO. У (*о). У К)]} Ьу0 (41)
и соответственно
bJ= ДО [F]u budxdy+^( Fvx Flly- + [Ф]и) Ьи ds, (42)
G Г
[Ф]„=Фв-^Ф„у. (48)
Соответствующие естественные граничные условия гласят так:
^+v'ooL=0; Fs.+vmL =oi),
_ dy „dx d ,
"*ds~~ v^ds v~~ds "s~ "
В частном случае
J = ДО (U2x -f up dx dy -t- J Ott2 ds (44)
с г
с непрерывной граничной функцией a(s) вариация] bJ выражается так:
SJ = - 2ДО (ихх + иуу) Ьи dx dy -f 2^(- -Ь си) Ьи ds, (45) с г
где — означает диференцирование по внешней нормали к Г.
1) Черта^ означает, что в стоящем слева выражении нужно положить X = Xfl. §5
Граничные условия
201
Для интеграла несколько более общего вида:
/ = JJjp (и\ + и2) — qu2 j dx dy -J- J pa u2ds, (4'4)
с г
где р(х, у) означает функцию, которая в области G непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка; q (х, у) — функцию, непрерывную в области G, a o(s)— функцию, непрерывную на границе Г, вариация выражается следующим образом:
8J= — 2 JJ \(рих)х + (риу)у + qu j %и dx dy + 2 J р ( ~ + ом) 8« ds, (45')
с г
Полагая, в частности, в (39) и (41)
<р (y) = l(y-af, $(у) = 1(у-Ь)2, мы получим в качестве естественных граничных условий уравнения:
Ti F*L+Л-?=0; Ър*L +Л - *=о.
Предельный переход I •—> оо приводит к случаю неподвижных граничных значений:
Ус = а, уг = Ь,
так что простейшая вариационная задача с неподвижными концами экстремалей оказывается предельным случаем задачи со свободно вариирующими концами.
Вообще, присоединяя к заданному интегралу соответствующие граничные члены или граничные интегралы ]), мы получаем возможность, существенным образом изменять естественные граничные условия задачи, не меняя при этом диференциального уравнения Эйлера.
2. Геометрические задачи. Трансверсальность. При рассмотрении геометрических задач, в которых концы искомых кривых могут перемещаться по данным кривым или поверхностям, и вообще во всех тех задачах, где граница области интегрирования не задана неподвижно 2), удобнее всего задать кривые или поверхности в параметрическом виде. Мы остановимся здесь иа том случае, когда начальная
1J Вместо присоединения таких граничных интегралов, мы можем также прибавить к подинтегральному выражению любое выражение типа дивергенции (см. стр. 184 и 242, примечание 1;.
2) Только что рассмотренные нами задачи со свободной вариацией на границе представляют собой, понятно, частный случай задач более общего характера, в которых вариация на границе подчиняется тем или иным условиям. Так, напри-
X,
мер, задачу: J' F (х, у, у') dx = min, в которой на значения у (х„) и у (X1)
Xc
не наложены никакие ограничительные условия, можно формулировать так: найти кривую, оба конца которой должны лежать на вертикальных прямых X = Xq и X = Xt и для которой данный интеграл имеет наименьшее значение. 202
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
точка искомой кривой у (к) может перемещаться по кривой 7 (к, у) = 0, тогда как конец этой кривой остается неподвижным. Выведем необходимые граничные условия экстремума. Представим заданный интеграл
J = ^ F(x, у, У) dx,
Xt
в котором нижний предел X0 может вариировать, в параметрическом виде, положив x = x(t), y=y(t), где параметр t изменяется в постоянных предеiax t0^t^tv и устраним таким путем неудобство, причиняемое изменяемостью области интегрирования. Мы получаем тогда:
J= j & (¦*. У, X, у) dt,
где
% = xf(x, уЛ)
при начальном условии T[x(t0), у (Z0)J = O и при заданных значениях лг(/,)и у(?).
Введем две обращающиеся при t = tx в нупь и в остальном совершенно произвольные функции Є (і), j) (t) и два параметра E1 и є2, удовпе-творяющие условию.
Ф (S1, B2) --= Т{ X (t0) + S1Є (g, у (t0) -f є2 IJ (Z0)] = 0.
Мы можем"тогда выразить экстремальное свойство нашей кривой с по мощью условия, чтобы функция и
Ф(є
1. е,) = j&C* + E- -У + є2 Ч. * + ЄД У + є2 Ч) dt
h
имела стационарное значение при є, = 0, є2 = 0, где переменные є, и є2 подчинены добавочному условию 1P(E1) є2)= 0. Но из теории обыкновенных экстремумов мы знаем, что в этом случае существуют два посго-янных и не обращающихся одновременно в нуль множителя ),0 и 1, для которых имеют место равенства:
