Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
uI + = X SikUiUk ^ul = Щ ,
где величины gik определяются посредством формул:
, 4-
s дл: йл: Sy ду^йг Ъг
и удовлетворяют соотношениям:
*~f (1 при k = l.
Отсюда мы непосредственно получаем формулу1)
') Применяя формулу (60) для случая трех переменных к выражению F=\(ul + +
для которого
— IrnUi — Ди == Uxx + Uyy + § 8 Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера 217
т. е. общую формулу преобразования выражения Ди при переходе к криволинейным координатам S1, S,, S3 .
В том частном случае, когда g12 =^g13 =?Г2з=0> т- е- когДа новая система координат также прямоугольна, так что координатные поверхности S1 = Const, S2 = Const, S3 = Const пересекаются под прямыми углами, формула (61) принимает следующий более простой вид:
Ab--L=U- [ил/Щ +± L і/'Щ+
vgngasa V * sn' у sk >
Так, например, в случае полярных координат г, <р, 5: X = Г COS If sin &, y = rsin<p sino, Z = r cos o, ds* = dr2 -f r2 Sin2 Scflf2 4- r2do2, и мы получим после небольшого вычисления:
{IРМ»») + ^ (^) +AT^sin9)} • <63)
Для случая двух независимых переменных S, >) имеют место совершенно аналогичные формулы. А именно, если ds2=ed^2-{-2fdZdri -f- gdrf, то мы получаем для диференциального выражения Ди следующую Инвариантную форму:
Au=-JL^llf+ (64)
Veg-р us \Veg—pj м Weg-рIJ
В частности в полярных координатах мы получаем:
ДО = dr2 + r4f, Au= -і IA (mr) -f A ^ J . (65)
3. Эллиптические координаты1). В качестве другого очень важного примера рассмотрим эллиптические координаты.
Эллиптические координаты определяются как три корня р, а, т уравнения третьей степени относительно s:
У2
S — е0
1, (66)
4) См. Jacobi С. G. /., Vorlesungen uber Dynamik (Курс динамики, читан-
ный в' Кёнигсберге в зимнем семестре 1842-1843, изданный А. Клебшом, Берлин
1866, и вошедший в качестве дополнительного тома в полное собрание сочинений
Якоби, Берлин 1886), лекция 26, где читатель может найти подробный вывод при-
водимых формул. Заметим также, что все следующие рассмотрения непосред-
ственно распространяются и на случай числа измерений большего трех. 218
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
где C1, с2, с3 суть некоторые заданные действительные числа. Корни р, о, X действительны для всех действительных значений X, У, Z, и при C1 > с2 > C3 имеют место неравенства:
р>с3>о>е2>т>с3.
Поверхности P = COnst представляют собой эллипсоиды, поверхности O = COnst — однополостные гиперболоиды, а поверхности T = COnst — двуполостные гиперболоиды. Прямоугольные координаты выражаются через эллиптические координаты так:
Л2 _ (Р —gl)(q -gl)(T — еі) У2 ^ (p~g2)(g — — e2)
(C1-C2)(C1-C3) ' (C2-C3)(C2-C1)
2 (p—сз)(° —сз)(т —Сз)
(? — cI) (? — еї)
(67)
а для квадрата линейного элемента мы получаем:
4 = ^-(P-O)(P-T) (a-t)(a-p) ^2
(р—^!)(p —с2)(р —C3) (O-C1)(O-C2)(O-C3)
+ , (Т~Р)(Т~0) ^x2. (68)
(х —^1Hx-C2) (х —с3)
Этот вид квадрата линейного элемента упрощается, если ввести в качестве новых переменных функции
vJVTT 2~\)і/7(Г 3 JFZ(T)'
где
/(X) = 4 (к-г- C1) (Х-с2) (?--с3).
Если
cI +ез-Нз = 0' чего можно всегда достигнуть подстановкой
то, взяв в качестве нижнего предела рассматриваемых интегралов X = со, мы получим, что
p = Mf1), O=Pfah t = pu3).
где ? означает эллиптическую функцию Вейерштрасса1). Тогда квадрат линейного элемента принимает вид:
rfs2 = (p-o)(p-t)^ + (o —т)(з-р)Л|+(т-р)(т-о)<Й2,
4) Ср. Hurw.tz-Cowant, Vorlesungen uber allgemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen, 3-е издание, Берлин 1929, стр. 161—171. § 8 Инвариантный характер диференциальных уравнений Эйлера
219
и согласно формуле (62) мы получаем для всякой функции T от переменных tt:
1
ДГ=
+
'(о — т)(г —р) (р
1 я, і ^r1
• (р __ с) (р _т) щ т (0 _т) (0 _ р) щ 1 ^Г
+
(т-р) (T-O) 5-І
(69)
Введение интегралов tt дает еще и то преимущество, что прямоугольные координаты выражаются однозначными функциями от /„ ибо в выражениях
__Vp со - gi Vp (*,)¦ - е-Уї (<») - «і
Ve1 — е2 Ze1 - -е3
—e2Vp{t2) - є2 Vp(t3)-e2
Ve2-CsVe2- -eJ
_vp(tj — еяУр(і2) -et yp(t3)-e S
(70)
)
Ve3-eI Ve3-е2
стоящие в числителе корни могут быть, как известно, однозначно определены для всех значений I1, если задать знаки корней для начальных значений этих переменных. Когда точка х, у, z перемещается внутри одного октанта, то каждая из величин р, о, т пробегает соответствующий ей интервал, и когда какая-нибудь из координат р, о, т принимает предельное значение, лежащее на одном из двух концов соответствующего ей интервала, то точка х, у, z попадает на части граничных плоскостей октанта, указанные на черт. 1. Рассматриваемая здесь часть октанта ограничена с внешней стороны эллипсоидом p = pj^>e,; плоскость уz разбивается на две части P=C1 и о = ел дугой „фокального элли-гса"
х = 0,
У
+
Z2
1,
а плоскость xz разбивается на части о = е2 и т = е2 „фокальной гиперболой"
j/ = 0,
JC2
1.
2 cI 2 3
