Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Итак рассмотрим квадрат:
Обращение в нуль первой вариации для этого квадрата В выражается равенством:
Я
(Ы +FuSx +Fuy^dx dy = 0
для всякой функции С, обращающейся в нуль на границе квадрата. Выберем специально вариацию ?<лг, у) так, чтобы Z(x, y)=v(x)w(y), где V (х) обращается в нуль при х = х0, X1, a w(y) обращается в нуль при у=у0> уг. Мы получаем тогда равенство:
УIX1
ДО (,FuVW -}- Fti v'w -f- Fuv VW1) dx dy = О,
откуда мы и получим наше интегральное соотношение путем двукратного применения теоремы Дюбуа-Реймона. Положим
Fuw = Ay (X, у); Fu=Bx{x,yy, Fu= Cxy (х, у);
13 Курант-Гильберт. 194
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
у Л
j FuJy = Aixl у); j Fu^ dx = B(x, у); j Fadx = Cy(x, у);
х0
У X
J ^Fadxdy = (
:С(Х, У).
Ус X0
Интегрируя по частям, мы получаем: Уі ( Xi
I dy I Y~CyV'w ^ Ayv'w ~ Bv'w') dx\=0
Уо \ X0
или
Xi У,
W И'
*o Уо
(— CyW -)-AvW-Bwr) dy У =0.
Так как ъ' есть производная от совершенно произвольной функции v, обращающейся в нуль при х = х0 и X = X1, то согласно приведенной выше лемме
"і
J'
(— Cyw -j- Ayw — Bw') dy=с,
Уо
где с не зависит от х. Вторично интегрируя по частям, мы получаем:
л
^(С—А — В) w'dy = с.
Уо
Полагая в этом равенстве сначала X = X1, а затем X = Xa и вычитая полученные два равенства одно из другого, мы получим, полагая C-A-B = D:
f [?>(*,, у) —D (x0l j/)] w'dy=0.
Уо
Вторичное применение теоремы Дюбуа-Реймона даег:
D(x„ Уі) D(x0, y1) = D(x1, y0) — D(x0, Jo),
т. е.
Уі X1
J Jfb dx dy = Fa dy - Fay dx),
УоХ0
где стоящий справа интеграл должен быть взят вдоль границы квадрата, что и требовалось доказать. §3 Уравнения Эйлера
208
8. Другие вариационные задачи и их функциональные уравнения. Рассмотренные до сих пор вариационные задачи относились к функционалам, получающимся путем интегрирования данного диференциального выражения, составленного из функционального аргумента и его производных. Однако часто встречаются вариационные задачи с функционалами более общего характера. Покажем на нескольких примерах, как, поступая таким же образом, как и раньше, мы получим совершенно другие функциональные уравнения, играющие здесь роль диференциальных уравнений Эйлера.
а) Требуется найти стационарное значение выражения:
K(s, t)y(s)if(t)dsdt -J-
Jf U)2 ds —
W (s)f(s) ds,
где K(s, /)— заданная непрерывная симметрическая функция от s и t, f(s)—заданная непрерывная функция, а и (s) — искомый непрерывный функциональный аргумент. Все интеграции производятся в пределах a =? S s^b, a s^t ^b.
Заменяя W через и + ? ? и рассматривая функционал J [<р є ?] = Ф (г) как функцию от є, мы получим после простого преобразования:
ь гь
о = (*)-/(/)
a J-
dt.
Требование Ь J=0 приводит таким образом к интегральному уравнению:
1
K(s, t) m(s)ds 4- 9(/)-/(/) = 0,
играющему здесь роль уравнения Эйлера. Нетрудно привести в свя: ь с этой задачей все те вариационные задачи, с помощью которых мы исследовали в гл. III интегральные уравнения с симметрическим ядром K(s, t). б) Требуется найти стационарное значение выражения:
оо
-/[<?]= j [/>(*)<f'(*)2 + 2<fl(.*4-1) ш (JC — 1) — w2{x) — 2<j> (*)/(*)] Же,
— OO
причем предполагается, что функциональный аргумент <р (дг) непрерывен и имеет кусочно-непрерывные производные во всем интервале — OO < X << 4- 00.
Общий способ образования первой вариации дает после простого преобразования:
ds'
-t-oo
«= о
= 2s j С (х) [— (р if')' 4- 'f (х 4- 2) 4- If (X — 2) — ер (х) —/( 0] dx,
— со
13* 196
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
и функциональное уравнение Эйлера, выражающее обращение в нуль первой вариации для любого С(х), имеет здесь следующий вид:
(P?')f - «р (*+2)—«и*—2) -и (г) + т=0.
Это функциональное уравнение представляет собой уже не диференциальное уравнение, а смешанное диференциально-разностное уравнение.
§4. Замечания относительно интегрирования д и ф е- ¦< рёнциального уравнения Эйлера. Примеры.
Систематическое изложение методов интегрирования уравнений Эйлера буде+ нами дано во втором томе на основе теории Гамильтона-Якоби. Здесь мы ограничимся только некоторыми замечаниями, которые дадут нам возможность выполнить интегрирование в приведенных выше простейших примерах. Мы ограничимся при этом задачей
*t
у, y')dx = min.
X»
Если функция F вовсе не содержит производной у, то уравнение Эйлера сводится к уравнению F = 0, которое в неявной форме определяет функцию у (л). Заметим, что в этом случае невозможно задать совершенно произвольно граничные значения функции у (х). Если граничные значения не удовлетворяют условию F = 0, то задача не имеет решения.
Если функция F не содержит зависимой переменной у, то отсюда d
следует, что — Fyt = 0, так что Fyl = const=с, откуда у = у (х, с),
так что y=\v(x, c)dx; уравнение Эйлера интегрируется в этом случае с помощью одной квадратуры.
Если функция F не содержит независимой переменной х, то и в этом случае уравнение Эйлера интегрируется с помощью одной квадратуры.
