Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Я
F(x, у, г, zx, гJdxdy
считать переменные х, у и функцию г функциями от двух параметров и и V, причем функциональный детерминант х и у по и и v
й (х, у)
й (и, v)
отличен от нуля, то
, _ 2„Уу — гуУд .
:XuVv — XvVu
Z..
ХиУV-xV^u у ХиУъ—ХъУи
и рассматриваемый интеграл принимает следующую форму:
F(к, у, z,zx, zy)dxdy= а (У, г) й (г, X)
Я-
№
= WF
у V ? — а ^ _ MuiV)
,У' ' Mx, у)' Mx, у)
--)-, dudv-
й и, V)
й (и, v) й (и, v)
-Mx"-' -Шу Wri^Yd- <33>
где подинтегральное выражение ^ является однородной функцией первого измерения относительно последних трех аргументов. Соотношения, выведенные выше для случаев простых интегралов, и в особенности со- §'3 Уравнения Эйлера
189
отношение (31) и симметрический вид (32) диференциального уравнения распространяются соответственным образом и на случай многих переменных. Так как эти соотношения нам в дальнейшем не понадобятся, мы ограничиваемся указанием литературы г).
7. Вариационные проблемы с расширенными условиями допустимости. Теорема Дюбуа-Реймона и Га-ара (На а г). До сих пор мы требовали, чтобы допустимые при вариации функции сравнения имели непрерывные производные до наивысшего порядка, встречающегося в диференциальном уравнении Эйлера. С точки зрения вариационной проблемы эти требования неестественно суживают объем класса допустимых функций; так, например, вариационная проблема с подинтегральным выражением F (к, у, у') имеет смысл уже тогда, когда мы ограничиваемся требованием кусочной непрерывности первой производной и не делаем никаких предположений относительно второй производной. Поэтому а priori не исключена возможность, что при таком расширении условий допустимости появится новое решение вариационной проблемы, не удовлетворяющее диференциальному уравнению Эйлера.
Рассмотрим сначала проблему минимума в собственном смысле и допустим, что функция у (х), имеющая непрерывные производные первого и второго порядка, дает минимум относительно функций сравнения, удовлетворяющих таким же требованиям непрерывности. Тогда функция у(х) дает минимум также и относительно таких функций сравнения у*, которые удовлетворяют только требованию непрерывности производной» первого порядка и могут вовсе не иметь производной второго порядка. Ибо по теореме Вейерштрасса об аппроксимировании непрерывных функций производная у*' может быть аппроксимирована полиномом р'(х), а функция у*—полиномом р(х), удовлетворяющим граничным условиям р (х0) = у0, р (X1) = у1. Так как можно определить р (х) так, чтобы разности (р1 —у-') и (р — у*) были сколь угодно малы2), то интеграл J[p\ может быть сделан сколь угодно мало отличным от интеграла J[j/*]. Так как р(х) является допустимой функцией сравнения, имеющей непрерывные производные первого и второго порядка, то J[p\^j\y], а поэтому и J[y*]^J[y\.
') См. Bolza О., Vorlesungen uber Variationsrechnung, стр. 666—671, Лейпциг 1909; Kolb G., Sur Ies maxima et minima des integrales doubles, Acta Math., 16, стр. 6 >—140, 1892—1893.
2) Мы образуем для этой цели на основании теоремы Вейерштрасса многочлен
<]' (х), который удовлетворял бы неравенству \q'(x)—у*' (х) | < Е-г , при
1 (X1 -XoJ
X0=Sx ^ Xi, причем ? означает любое сколь угодно-малое положительное число.
X
Тогда многочлен q (лт) = .ус + ^ q' (f) dt принимает при x = xt заданное начальное
Xd
значение у0 и во всем интервале отличается от функции у*(х) не больше
є
чем на . Чтобы получить теперь многочлен, удовлетворяющий условиям:
\р (л) —у*(х) |<е, '/?'(*) — у*'(х) I < є, р (jc0)=jz0 и, кроме того, принимающий при X = Xf заданное значение yt, достаточно прибавить к многочлену q(x) ли-
нейную функцию I (лт) = (х — х0). Легко убедиться, что функция»
Xi — Xff
Р\х)~ q(x)-\-l(x) удовлетворяет всем перечисленным в тексте условиям. 190
Основные нонііТия вариационного исчисления
Гл. IV
Если же мы заранее вводим в проблему минимума — нлн вообще в проблему отыскания стационарного значения — расширенные условия допустимости, так что относительно решения проблемы мы требуем только, чтобы первая производная была, кусочно-непрерывной, то возникает вопрос, не имеет ли эта функция еще производных высших порядкой и удовлетворяет ли она тогда диференциальному уравнению Эйлера. Этот вопрос разрешается в положительном смысле на основании следующей теоремы Дюбуа-Реймона:
Пусть первая вариация интеграла ^ F(x, у, у') dx обращается в
X0
нуль для некоторой непрерывной и имеющей кусочно-непрерывную производную функции у (х), равной нулю на концах интервала, и вариация которой ї] (х) удовлетворяет тем - же требованиям непрерывности, что и сама функция у (х). Предполагая, что подинтегральное выражение F(x, у, У) имеет частные производные первого и второго порядка по всем своіім аргументам и что вдоль кривой у.~ у (х) выполняется условие Fvlyl 0, мы утверждаем, что функция у (х) удовлетворяет диференциальному уравнению Эйлера и имеет непрерывную производную второго порядка. Из обращения в нуль первой вариации само робой вытекает, таким образом, суіцествование и непрерывность второй производной, удовлетворяющей при этом диференциальному уравнению Эйлера.
