Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Прямые методы
169
функции fn или gn многочленами Cn 0 Cnl г -j-... + Cn m г"1 с дополнительным условием спЛ -f- Cn 1 • ¦ ¦ + Cn m = ап или Ьп. 'Решением соответствующей обыкновенной задачи minimum'a служит, как читатель может в этом легко убедиться, функция fn = anrn или gn = bnrn для всякого т^п. Так как эти решения не зависят от т, то получается минимальная последовательность, все члены которой равны между собой, откуда непосредственно следует, что эти функции служат решением каждой из рассматриваемых вариационных проблем минимума.
Вместо применения процесса Ритца можно непосредственно получить решения fn или gn наших вариационных проблем, поступая следующим образом. При п = 0 мы должны найти минимум
і
I
f'2(r)rdr,
что, очевидно, будет достигнуто, если положить /о'== 0, /о =COIist = C0-При я>0, мы должны, во-первых, иметь Zn(O) = ^(O) = O, ибо в противном случае вторая часть интеграла обратилась бы в бесконечность, так как /п диференцируема и может быть представлена в виде:
fn (0) + .rhn(r),
где hn(r) — непрерывная функция. Представим теперь наш первый интеграл в форме:
і і Ij
j (f'n—jfnjrdr + in j/«/,*=j (f'n-yfXrdr+nf*{ 1),
0 0 0
где fn(\) = an является заданной заранее величиной. Отсюда непосредственно следует, что данный интеграл имеет своим минимумом
п/^1)=па2п,
I п
и мы достигнем этого минимума, если положим fn--/„— 0, откуда следует, что /п = спг", а в силу условия fn(l) = an мы получаем:
Точно также мы получим, что gn(r) = bnrn.
Итак, решением нашей первоначальной проблемы минимума служит функция
со
И (Г, ®) = Ц- + X r" К cos + bn si" «8). (1O)
Z я = 1
а минимальное значение интеграла равно:
оо
п=1 170
Основные понятия вариационного исчисления
Гл. IV
Необходимо при этом подчеркнуть тот факт, что решенная нами проблема минимума может потерять смысл, если сделать более общие предположения относительно граничной функции, например ограничиться требованием непрерывности.
Возьмем, например в качестве граничной функции непрерывную функцию р (S), определенную с помощью следующего равномерно сходящегося ряда:
00 1
р(в) = ?(1,»)=2^со8(л1»),
я = 1
тогда сумма
сю со
"Xm2 ат =ttX^" !)2
т=I п=1
обращается в бесконечность; нетрудно доказать, что в этом случае вообще не существует допустимых функций сравнения <р, для которых интеграл D [ці] имеет конечное значение.
в) Пусть в прямоугольнике R:0 ^xs^a, O^ у ^b задана гладкая функция g(x, у). Найдем функцию <р, непрерывную вместе со своими производными первого порядка внутри прямоугольника R и обращающуюся в нуль на границе, для которой интеграл
У (<?•+?*-^rfxrfy (11)
R
достигает минимума.
Положим, что внутри R
сю
. . V* KX . тсу
g(x,y)= 2и arnnsmm— smn~r
m, я =I
V (X, У) -
СО
т, /1=1
тгл: . пу sin т — sin я -F-. a b
где стп являются подлежащими определению параметрами. Тогда в силу условия полноты системы тригонометрических функций данная вариационная проблема сводится к отысканию тех значений параметров стп, при которых выражение:
Л 00 / О 00
т, я=1 \ vJ Pi1 п=1
имеет минимальное значение. § 2 Прямые методы
171
Отсюда непосредственно видно, что минимум получается при
со
1 V1 й„„ . TTX . TTV
,<р = и(х,у) = - J^smm-sin« -.(12)
„ /m2 , п2\ ' т 1 тт2 т2 .
TT2 I----I /я, я = I--(-
\а2 Ь2) а2^
ril а
Ъ2
Что функция и(х,\) "действительно удовлетворяет всем сделанным допущениям, следует из того, что как полученный ряд, так и ряды, получающиеся из него путем почленного диференцирования, равномерно сходятся, имея в качестве мажорант абсолютно сходящиеся ряды:
^2-L-' ^j--"
Мы увидим позже (стр. 182), что функция и(х,у) удовлетворяет диференциальному уравнению:
««+«ja, = «¦(*»
Функция и (х,у) примера а) удовлетворяет диференциальному уравнению а функция u(r, S) примера б) удовлетворяет диференциальному уравнению:
ихх + bJJ = 0-
4. Соображения общего характера относительно прямых методов вариационного исчисления. Главная трудность, на которую мы наталкиваемся как при проведении, так и при строгом обосновании прямых методов вариационного исчисления, заключается в том, что минимальные последовательности проблемы могут ие сходиться к некоторой предельной функции даже в тех случаях, когда существование решения является несомненным. Поэтому нельзя считать, что рассмотрение минимальных последовательностей, действительно, может во всех случаях непосредственно привести к решению задачи.
В качестве простого примера- рассмотрим задачу нахождения .минимальных поверхностей, в которой требуется найти минимум интеграла
й
V 1 +4+4^ dy
и в которой в качестве допустимых поверхностей сравнения рассматриваются все квадрируемые поверхности (т. е. поверхности с конечной йлощадью), проходящие через заданную пространственную кривую, имеющую своей проекцией границу области G.
Возьмем в частности в качестве такой пространственной кривой кривую, лежащую в плоскости х, у, например окружность с площадью, равной единице. Тогда, очевидно, минимум достигается с помощью функции г = 0, т, е, с помощью самой плоскости Xi у. Минимальной 172
