Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
скрещенных электрическом и магнитном полях (см. [3], § 22).
1 Ветви Arctg^ 1 g Qi j нужно выбирать так, чтобы угол у был непрерывной
функцией t.
2 Другой способ решения приведен в задаче 6.36.
110 Ответы и решения [2.33
2.33. Уравнение траектории
,"= т V 2 j у/Е - [/эфф(г) '
где П - ГД6"_ 2тс'
а | тг2 /г, 'Pv
r 2 V тг2
Качественно характер движения можно исследовать, используя графики
[/эфф(г). При этом нужно обращать внимание на то, что ф меняет знак,
I Pv u
когда г проходит через значение г о = W -^. В результате получаем
траектории, приведенные на рис. 97, а-д} Различные траектории на рисунках
соответствуют следующим условиям:
а) pv > 0, t7min < Е < Uq, где Пт;п - минимальное значение ПЭфф(г), По =
ПЭфф(го),
б) pv > 0, Е = U0;
в) pv > 0, Е > [70;
г) Pv < 0;
д) Pv = б- В последнем случае частица падает в центр на первом же витке.
Рассмотрим подробнее два предельных случая.
Уравнение (1) представим в виде
92 = ~Щ= I dr - Ш. (2)
г2
г 2 тг2
pv{l+f Р* тП2г2
Таким образом, можно считать, что влияние магнитного поля сводится к
замене энергии на Е' = E+pvQ, добавлении к полю U = - " добавки SU =
О2 2
_ т (которая приводит к прецессии орбиты) и к добавочной прецессии с
угловой скоростью -О,. При достаточно малых значениях магнитного
качественный характер исследования с помощью графиков позволяет
воспользоваться тем же приближенным изображением траекторий, что и в
задаче 2.32. Разумеется, точные траектории частиц в обеих задачах
различны.
2.33]
§ 2. Движение частиц в полях
111
"2
поля Ж поле 5U может оказаться малой добавкой к Uq = -- =?. Для
2 тг
этого достаточно, чтобы во всей области движения частицы выполнялось
условие
5U(r) " \U0(r)\. (3)
Скорость прецессии, вызванной 5U, можно определить как
п'=^=7 й{Т{5и))- <4)
где усреднение 6U производится по движению частицы в поле Uq с энергией
Е' и моментом pv, а Т - период этого движения (ср. с задачами 2.17,
2.18). Вычисление1 приводит к значению
^/ = _30%
2\Е'\ У '
причем 5U действительно можно считать малой поправкой, если кроме (3)
выполнено также условие SAip 2тт, т. е.
?l2pva^/m\E'\~5/2 < 1. (6)
Разумеется, 5U нельзя считать малой поправкой, если Е' Д 0, так как в
этом случае удаление 5U качественно меняет характер движения.
Величина О' может оказаться как малой по сравнению с О, так и большой.
Знак О' противоположен знаку ji f, т. е. направление этой скорости
противоположно направлению движения частицы по орбите. Направление же
скорости О определяется магнитным полем.
Итак, траектория представляет собой эллипс, прецессирующий с угловой
скоростью
Ппр = -О + И', (7)
точнее говоря, поскольку может оказаться ОТ > 1, в системе отсчета,
вращающейся с угловой скоростью П"р, траектория представляет собой
неподвижный эллипс.
Интересно сопоставить полученные результаты с теоремой Лармора (см. [3],
§45, см. также задачу 9.23).
1 Для вычисления (SU) удобно использовать переменные, примененные в
задачах 2.18, 2.19.
Так как период в поле Uq не зависит от pv, в (4) можно вынести Т из-под
знака производной.
112
Ответы и решения
[2.34
Возможен ли случай, когда 5U можно считать малой поправкой, если энергия
частицы Е положительна?
Далее рассмотрим случай, когда малой поправкой можно считать поле U = -
а/г. Движение без учета U происходит по окружности. Ее радиус а и
расстояние b от ее центра до центра поля можно выразить через
максимальное и минимальное расстояния частицы от центра поля
2 Е + р<рО, ± \/{Е + 2pvQ)E
=---------------т&-----------• ' '
Возможны два варианта расположения окружности, изображенные на рис. 98.
Если pvn < 0, то осуществляется случай а), если pvCl > 0, то
осуществляется случай б). В обоих случаях
&2 = Е + 2р П а2 = ^- (9)
2 m?L 2 m?L
Учет поля U приводит к систематическому смещению этой окружности
(называемому дрейфом), причем ее радиус и расстояние от центра поля,
определяемые постоянными а и Ь, не изменяются, т. е. центр ее
перемещается по окружности радиуса Ь. Угловая скорость смещения центра
окружности
где усреднение U производится по равномерному движению по окружности.
Ограничимся случаем, когда а " Ь. В этом случае можно считать просто
(U)=- f, (Ю)
так что у = ----. Заметим, что в этом случае линейная скорость дрейфа
2 тОЬ
равна сё/Ж, где её = а/b2 - сила, действующая на частицу на расстоянии b
(ср. [3], § 22).
2.34. Задача о движении двух одинаковых заряженных частиц в однородном
магнитном поле сводится к задачам о движении центра масс и об
относительном движении (см. задачу 2.26).
113
2.34] § 2. Движение частиц в полях
Координаты центра масс
J X = R cosuit,
I Y = -Rsinut,
где и = еЖ/тс.
Относительное движение совпадает с движением частицы с массой т/2 и
зарядом е/2 в поле U = е2/г и в однородном магнитном поле Ж. Это движение
подобно рассмотренному в предыдущей задаче, только в формулах следует
заменить гп на т/2, е на е/2 и а на -е2. Ограничимся случаем, когда
радиус орбиты а мал по сравнению с расстоянием до центра поля (см. рис.
