Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 31

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 86 >> Следующая

118
Ответы и решения
[2.36
Теперь из (13) находим
Ai
-Д-2
3 F
2 m?L
3 F
(В2 sin Ш - С2 cos Ш),
(18)
2 m?L
{Вi sin Ш - Сi cos Ш).
Постоянные .?>1,2, С\, 2 определяются, как и следовало ожидать,
начальными значениями векторов М и А.
Конец вектора М описывает эллипс с центром на оси A3 в плоскости ц,
параллельной ОХ 1X2 (рис. 103). Конец вектора А также описывает эллипс с
центром на оси A3 в плоскости и, параллельной ц, подобный первому и
повернутый на 7г/2. При этом А все время перпендикулярен к М. Плоскость
траектории перпендикулярна к М, вектор А определяет направление на
перигелий орбиты.
Итак, плоскость траектории поворачивается ("прецессирует") вокруг F.
Угол, составляемый плоскостью орбиты р с F, колеблется при этом около
некоторого среднего значения. Колеблются около среднего значения
эксцентриситет и угол между проекцией F на плоскость р и направлением на
перигелий. Все эти движения происходят с частотой П.
Напомним, что мы пренебрегали поправками первого порядка по F, если они
не приводили к накапливающимся эффектам. Решение справедливо для отрезка
времени порядка нескольких периодов прецессии орбиты.
Не приведет ли учет следующих приближений к качественному изменению
характера движения (например, к уходу частицы на бесконечность)? Точное
решение задачи о движении частицы в поле U = - у - FT, возможное в
параболических координатах (см. задачу 12.126), показывает, что при
заданном Е < 0 и достаточно малых F подобных эффектов не возникает.
Подчеркнем, что появление накапливающихся изменений орбиты под действием
сколь угодно малого возмущения связано с вырождением невозмущенного
движения.
В [5], § 7.3 можно найти решение этой задачи с использованием
канонической теории возмущений.
2.37]
§ 2. Движение частиц в полях
119
2.37. Согласно теореме Лармора (см. [2], § 45) орбита частицы в
однородном магнитном поле Ж вращается вокруг центра
кулоновского поля
0 q Ж
с угловой скоростью 12 = - где q - заряд частицы. При этом векторы М и А
изменяются со скоростями
Mi = [ПМ], Ai = [ПА]. (1)
Усредненные за период скорости изменения векторов М и А под влиянием
постоянной силы F = qS определены в предыдущей задаче (см. формулу (13)):
_
M2 = g[FA], A2 = ^[FM], (2)
Усредненные скорости изменения векторов М и А под влиянием обоих полей
равны
M = Mi+M2, A = Ai + A2
(3)
а) Направим ось х по электрическому, а ось у по магнитному полю. Тогда
уравнения (3) принимают вид
Av = ПАХ - м
и 2т
3aF Л
2а у'
Решение этой системы:
Ах = - cos (ut + /3) +С7 Ау = В sin (uit + /3),
M = |^?в sin {tot + 0) +
где oj = y/f22 + 9aF2/4ma, а постоянные В, /3, С определяются начальными
значениями А и М.
Рис. 104
120 Ответы и решения [2.38 а
Итак, конец вектора А движется по эллипсу с осями, параллельными осям хну
(рис. 104) и центром на оси х. Орбита при этом покачивается (или
вращается при О В > toC), причем периодически изменяется эксцентриситет.
При 9aF2B > Агпа0.юС эллиптическая орбита периодически вытягивается в
отрезок.
б) Обозначив CtF = Щ-\/А,тт, N = Азапишем (3) в виде М =
/ V ' ' C'Ot у С1
= [S7M] + [S~2^N], N = [SIN] + [ОрМ]. Складывая и вычитая эти уравнения,
находим • г т 1
*П,2 = [^1,2^1,2])
где 1
Ji, 2 = 2(М =Ь N), с*-?2 = ^
Таким образом, векторы Jy 2 вращаются с постоянными угловыми скоростями
2:
Jl,2 (0 = Ji, 2 (0) coso;i) 2^+
, [^1,2 ] . Jl, 2(0)wi,2 ( л
[zjTTJl'2(0)J smUl'2 + Wl'2 О " COSWi^O,
и векторы M=Ji+J2,A = yj ^j(Ji - J2) полностью определяются через свои
начальные значения.
Мы не будем подробно анализировать этот ответ. Заметим только, что uii
=Ю2, если электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны.
2.38 а. Пусть частица движется в плоскости xz. Уравнения для вектора А
(см. формулу (10) из задачи 2.36) можно привести к виду
Ах = -2/3(5xzz - 2 xz2) = jj^zM - 2fj-^_xz2,
Az = 2/3(4 xxz - zx2) = -J^xM + 2/3-^xz2,
где M = m(zx - xz) - медленно меняющаяся функция времени.
После усреднения этих уравнений получаем
2.38 а] §2. Движение частиц в полях 121
где а - большая полуось эллипса. Отсюда
Л, _ 3Аг
Az
т. е., в отличие от задачи 2.36 б, конец вектора А колеблется не вдоль
прямой, а вдоль гиперболы
Ах = + const.
Зависимость А от времени можно найти из уравнения
та I dAx
t = -
9/За J MAZ
в котором М и .4должны быть выражены как функции Ах.
Например, для случая, когда в начальный момент Az(0) = 0, Ах(0) = аео (во
- начальное значение эксцентриситета), имеем
Az = -a^j^(x2 - eg), М = J |таа(с2 - х2),
Ах / 3 + 2е§
а;=-а> С= у 5 '
С течением времени орбита медленно поворачивается в плоскости xz и
превращается в отрезок, составляющий с осью х угол
-0 = -arctg^/|fe, к =
3 - Збд 3 + 2бд
за время
3/3 у 10а3 J J(а;2 - е§)(с2 - а;2)
ео
Входящий сюда интеграл приводится к полному эллиптическому интегралу
первого рода (см. примечание к задаче 1.7 и [10] стр. 96-97)
t =--------^---К (к),
6д %/Юс/За3
где Т - период невозмущенного движения.
122
Ответы и решения
[2.38 6
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed