Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Коткин Г.Л. -> "Сборник задач по классической механике" -> 23

Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.

Коткин Г.Л., Сербо В.Г. Сборник задач по классической механике — И.: НИЦ, 2001. — 352 c.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка): sbornikzadachpomehaniki2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 86 >> Следующая

траекторию частицы (рис. 11, а).
На больших расстояниях, таких, что <С у главную роль в U(г)
г
играет член - у и траектория мало отличается от гиперболы. (О виде
траектории при г -> 0 см. задачу 2.8.)
2.1]
§ 2. Движение частиц в полях
83
Если энергия Е близка к Umax, то интервал значений г, близких к п,
частица проходит очень медленно. Вращение же радиуса-вектора продолжается
своим чередом со скоростью
• ~ м
ф " --, так что частица может сделать много
тг1
оборотов вокруг центра, прежде чем пройдет этот интервал (рис. 77, б).
Если Е = 1/тях, то частица в своем радиальном движении асимптотически
приближается из бесконечности к точке г = г\ (ср. с задачей 1.3).
Траектория же представляет собой спираль, приближающуюся к окружности
радиуса п с центром в О (рис. 78, кривая а). Если частица с такой
энергией удаляется от центра в области г < г\, то ее траектория также
приближается к этой окружности, но изнутри (рис. 78, кривая Ь). Наконец,
при Е = Uтях возможно движение по окружности г = п.
Любое изменение величин Е или М переводит частицу на траекторию,
удаляющуюся от этой окружности, т. е. движение с г = г\ неустойчиво.
Если 0 < Е < Uшах, то частица, летевшая из бесконечности, отражается от
потенциального барьера [/эфф(г) и вновь удаляется на бесконечность.
Примерный вид траекторий в этом случае показан на рис. 79 Рис. 78
(кривые а и Ь). Если энергия близка к Umax, то частица сделает много
оборотов вокруг центра, прежде чем радиальная скорость г изменит знак.
Чем ближе энергия к нулю (при фиксированном М это соответствует
увеличению прицельного параметра), тем менее искривлена траектория
частицы. При Е < Uшах возможно также падение в центр поля частицы,
которая движется в области г < а. Траектория в этом случае изображена на
рис. 80.
При ишт < Е < 0 частица может также совершать радиальные колебания в
области с ^ г ^ d (рис. 81). Если энергия близка к нулю, то размах
радиальных колебаний велик, период их тоже может стать большим. При
энергии, близкой к (/ГШГ|, траектория близка к окружности радиуса Г2,
причем угол поворота радиуса-вектора за период радиального колебания
зависит от величин а, 7, М (ср. с задачей 5.4). При Е = Umщ частица
движется по указанной окружности.
Подобным же образом можно исследовать движение частицы в остальных
случаях.
84
Ответы и решения
[2.1
А
Рис. 79
Рис.
Какими особенностями может обладать траектория, если М4 =
= 12а-/т2?
Закон движения и уравнение траектории можно найти, используя уравнения
(4), (5). Из (5) получаем
откуда
* = ±\1т\Е~и-> ФФ(Г)Ь dr
t = ±Jr4
С.
2 j л/Е - гТэфф(г)
Исключив dt из (7) с помощью (4), найдем уравнение траектории
р = ±
М
dr
+ с.
(7)
(8)
(9)
\Дто J г2 ^Е - ?7эфф(г)
Рассмотрим случай М4 > 12аут2. Если частица движется к центру, то в (7)
(а значит, и в (8)) следует выбрать знак "минус". Пусть г = г о при t =
0, тогда (8) можно переписать в виде
dr
2 J у/Е - К)фф(г)
(10)
Равенство (10) определяет в неявном виде зависимость г от времени. Если
траектория проходит через точку г = гq, р = <рд, то уравнение траектории
(с учетом выбранного знака) приобретает вид
ip = -М
dr
VI
<Ро,
(П)
где
\Pr\ = \J2m [77 - К,фф(г)].
2.1]
§ 2. Движение частиц в полях
85
В частности, для частицы, скорость которой на бесконечности составляет с
осью х угол -0, нужно положить го = оо, ipo = тг - ф.
Если Е > ?7тах, то уравнения (10) и (11) полностью определяют закон
движения и траекторию частицы.
Если же 0 < Е < Нтах, то эти уравнения отвечают только участку АВ
траектории (рис. 79, кривая а). В точке В радиальная компонента скорости
г обращается в нуль, а затем меняет знак. Поэтому участок траектории ВС
описывается уравнением (9) со знаком "плюс", причем постоянную нужно
определять заново. Удобно записать (9) в виде
С min
Нижний предел интеграла мы могли выбрать произвольно, пока не определена
постоянная С'. Согласно (12) имеем
Определяя ip(rmщ) из (11), получаем уравнение участка траектории ВС:
Подобным же образом определяем закон движения на участке ВС
Если Um[n < Е < 0, а < г0 < Ь, г(0) < 0, (p\t=o = У'о. т0 уравнение (11)
описывает участок траектории АВ (рис. 81). Участок ВС описывается
уравнением
где угол ip 1 можно получить, положив в (11) г = а. Уравнение участка CD
Г
(12)
(13)
г
С min
(14)
Лит П)
(15)
Г
(16)
а
86
Ответы и решения
[2.2
где определяется из (16) при г = b и т. д. Подставляя в (16) и (17)
значения <р>\ и ро. представим уравнения участков траектории в виде
Ь а г0 а а го
(19)
Нетрудно убедиться, что уравнение участка траектории, отвечающего п-му
радиальному колебанию (считая участок АВ первым), имеет вид1
Г Ъ а
"_"(±/+2("-1)/-/)^+и. (20,
а а го
В приведенных формулах предполагается, что угол <р изменяется непрерывно,
ограничения 0 ^ <р < 2тг не вводятся. Данному значению г соответствует
бесконечно много значений <р (при различных п и знаках в формуле (20));
<р есть многозначная функция г. Наоборот, зависимость r(ip) однозначна.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 86 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed