Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично можно выразить законы движения и уравнения траектории и в
других случаях.
2.2. Вне сферы радиуса R частица движется со скоростью \j2E/m, а внутри
- со скоростью \/2(Е - V)/т. В зависимости от соотношения Е и М
получаются различные виды траектории.
nj 2 дл-2
При ------ - V < Е < частица либо движется
внутри сфе-
2 rriR 2 rriR
ры, испытывая отражения на границе (рис. 82, а), либо (если, кроме то-
1 Уравнение траектории (20) можно представить в виде
2.3]
§ 2. Движение частиц в полях
87
а)
Рис. 82
го, Е > 0) может двигаться и вне сферы (траектория прямая, рис. 82, б).
м2
При < Е имеет место преломление траектории (рис. 82, б).
2 тН
,г2
Как выглядит траектория при Е
ЕЕ 2 mR2
-VI
2.3. Для определения уравнения траектории используем формулы
Г Мdr гг тт,.л , М2
г2 \j2m{E - ПЭфф В результате вычисления1 получаем
U:
эфф
и (г)
2 тог
(1)
е cos7((/j - ф) - 1 '
где
е - \ 1 +
2 то / '
(2)
(3)
/ 2 77?. /3
7 = д/1 + , Е > 0, ф - произвольная постоянная.
'Интеграл, записанный в виде
М.
Л/
?> =
/
_____________А/ dr____________
г2д/2 т(Е - М2/2тг2 - а/г)
где М2 = М2 + 2ш/3 сводится к соответствующему интегралу в задаче Кеплера
(см. [1], § 15).
88
Ответы и решения
[2.4
Траектория представляет собой кривую, получаемую из гиперболы с помощью
уменьшения полярных углов в у раз (рис. 83). Постоянная ф определяет
ориентацию траектории.
Направление асимптот определяется условием г -> оо, или есов^цг ~ Ф) = 1-
Скорость отклоняется на угол
Рис. 83
Рис. 84
Рис. 85 Рис. 86
2.4. Полезно прежде всего исследовать характер движения с помощью
графика Нэфф(г). Для случая /3 < М2/2т этот график изображен на рис. 84.
В этом случае возможно только инфинитное движение в области г ^ гт,
причем Е > 0. Уравнение траектории такое же, как в задаче 2.3 (уравнение
(2)), а в равенствах (3) нужно заменить /3 на -/3. Основное отличие от
траектории, найденной в задаче 2.3, возникает вследствие того, что 7 < 1.
Примерный вид траектории показан на рис. 85. (Точка перегиба А
определяется условием dll /dr = 0, т. е. г = 2/3/а.)
Для случая /3 > М2/2т график СДфф(г) приведен на рис. 86.
2.4]
§ 2. Движение частиц в полях
89
Если Е > [/щах = ----------~~х;-----, то частица, летящая из бесконеч-
4(/3 - М /2т)
ности, падает в центр поля. Уравнение траектории и в этом случае можно
получить из уравнения задачи 2.3. Для этого, кроме замены /3 на -/3 нужно
заменить -0 на -0 + 7г/2у, а затем воспользоваться формулами
sin ix = г sha;, \/-х = i\[x.
В результате получим
г = ________V/__________
е' shy' (<у - -0) + 1 '
/ 2 (о М2\ , /4Е(п М2\ ,
Траектория для этого случая изображена на рис. 81а. Заметим, что при г ->
0 оказывается у < -х.. Это значит, что частица, падая в центр поля,
делает вокруг него бесконечное число оборотов.
Рис. 87
Если Е < ишах, то, согласно рис. 86, возможно движение либо в области Ъ ^
г < оо (рассеяние), либо в области 0 < г < о (падение на центр).
Уравнение траектории получаем, используя равенство cos га; = cha; (а во
втором случае еще и замену -0 на -0 + гг/у):
_ __________Р'_________ " _ L АЕ (а М2\
Г 1 =F е" chy'(y - ф)1 у а2У 2т)' ()
В случае Е = Um:tx воспользоваться формулой (2) задачи 2.3 нельзя
(1)
' /2ш/3 1 1= У1р~ь <2)
90 Ответы и решения [2.5
(так как при ее выводе предполагалось е ф 0) и нужно вновь брать интеграл
(1). Получаем /
1 + сехр(-7V) '
Т'6' Р' /
Г = --------:--------- - ИЛИ Г = Р
1 ± ехр[-у {<р-ф)\
в зависимости от начального значения г. Траектория представляет собой
либо спираль, начинающуюся на бесконечности или вблизи от центра и
асимптотически приближающуюся к окружности радиуса г = р', либо саму эту
окружность (рис. 876).
Наконец, в случае /3 = М2 /2т также проще вновь взять интеграл. В этом
случае происходит рассеяние, а уравнение траектории
а/Е
1 - ma2(tp - -ф)2/2М2Е Время падения частицы в центр поля определяем с
помощью формулы
Г
I - Ш. I dr
2 J л/Е ~ ^эфф
Например, для случая, когда траектория имеет вид (2), время падения с
расстояния г
t = Ег2 -аг-13- М2/2т - л//3- М2/2ш) +
а I то ( • 2Ег/а - 1 \
arcsm ;--------------arcsm -
2Е у 2Е \ е' ё
2.5. Уравнение траектории
г =
1 + е cos7((/j - -0)
(р, е, 7 определены в задаче 2.3). При Е < 0 движение финитное1
7mv"i д 2тг
(2|?|)3/2'
Период тот же, что и в поле Uq = -а/r. Для определения Тг достаточно
заметить, что добавление к полю Uq добавки (3/г2 сказывается на
радиальном движении так же, как увеличение М. Период же Тг в кулоновском
поле Uq от М не зависит.
2.S
§ 2. Движение частиц в полях
91
Траектория замкнутая, если 7 - рациональное число. На рис. 88 изображена
траектория для 7 ~ 5.
2.6. При /3 < М2/2т
г =
р
1 - е cos 7(<р - ф) '
7 = Л/1 _
2то/3
ЛТ2"'
если I? < 0, то A ip = 2п/7, = 7ТГ (Тг то же, что в
задаче 2.5).
При /3 > М2/2т (в обозначениях задачи 2.4)
Рис. 88
Р
е' sh7'(9? - ф) - 1 '
Ф____________________
е" с\хф (ip - ф) - 1 '
если Е > Un
если Е < U"
2.7. а) Финитное движение возможно, если функция ?7Эфф(г) имеет минимум.
