Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
о
При ? > 0 направление прецессии орбиты совпадает с направлением движения
частицы по орбите, а при е < 0 - противоположно ему.
2.20а. О. = 13 °2 + &2 м
а4Ь4 \М[
2.20 б. Функция Лагранжа
t-f (i2 + i2) - E + У2) + (*" + f) =
= f С + г'-ф'-) - !=p +
Если пренебречь последним слагаемым, то задачу о движении частицы удобно
решать в декартовых координатах. Это приводит к гармоническим колебаниям
с частотой
.и
96
Ответы и решения
[2.21
по осям х и у, т. е. к эллиптической траектории (ср. [1], задача 3 к §
21). Точное уравнение траектории удобно получить в цилиндрических
координатах, используя интегралы движения Е и М = (О, О, М):
Мд/1 + г2/I2 dr r2^/2m(E - t/эфф)
U--
эфф
тдг
21
М2 2 тг2
Разложение
приводит к уравнению
М dr
М
dr
г2^2т(Е - 11эфф) 2ml J ^/2т(Е - г7эфф)
где у о (г.) соответствует движению по эллипсу, а
М аЪ .
= ро (г) +
П =
определяет его прецессию.
2.21.
равна
mi
2 ml2 212
Функция Лагранжа системы Земля-Луна
m2 у. 2 'Yrno'mi 7m0m2 7mim2
Ri
Ri
|Ri - R2
где Ri и R2 - радиус-векторы Земли и Луны в гелиоцентрической системе
координат, mi, m2 - их массы, то - масса Солнца, 7 - гравитационная
постоянная. Введем координаты центра масс Земли и Луны (точка О на рис.
93 а) и их взаимного расстояния
R =
miRi + m2R2
Рис. 93 а
т 1 + т 2 тогда
Ri,2 = R+ г1,2, Г1,2=Т
т\Ш2
г = R2 - Ri
т 1 + m2
т2.
2.21]
§ 2. Движение частиц в полях
97
Использовав разложение
1, _
и учитывая, что
ГП\Т\ + ТО2Г2 = 0, niirl <С Ш2Г2 ~ Ш2Г2,
получаем
С = L, + L2 -
т-1+т2т^2 7ni0(mi+m2)
^H------------n---
(1)
i2 у777*1777*2 _ утрШ Г (Rr)2
r ' 2Д3 i й2 Г
Без учета rtf/ задачи о движении центра масс О и относительном движении
разделяются и сводятся к задаче Кеплера (мы будем говорить далее просто о
движениях Земли вокруг Солнца и Луны вокруг Земли).
а) В задаче о движении Земли вокруг Солнца малость 5U характеризуется
отношением
5U т2г2 1П_6
------------- ~ ~ 1U
(7TO0TO1/-R) miR2
Считая орбиту Луны окружностью радиуса г, лежащей в плоскости орбиты
Земли, имеем
где у - угол между векторами R и г. Этот угол меняется на 2тг за 29,5
суток (синодический месяц - промежуток времени между новолуниями).
Усредняем (2) за этот промежуток, что приводит к замене cos2 у ->
В итоге
Смещение перигелия за год (см. [1], задача 3 к §15)
98
Ответы и решения
[2.21
Смещение перигелия за столетие
1Шр = 7,7".
Следует заметить, что полное смещение перигелия Земли за столетие, равное
1158", обусловлено главным образом влиянием Юпитера и Венеры. Интересно,
что оценка релятивистской поправки дает величину
- 100 - 2тг( ^
1"
V и 30 км/с
(см. [2] §39 и §101).
б) Исследуя движение Луны вокруг Земли, также можно считать SU малой
добавкой к Ьр.
5U
(7Ш1Ш2/Г)
О2 1П. - ~ 10
со
Гг =
уш0 R3 '
2 _ 7mi
LU - ------ - .
Здесь период 27г/со = 27,3 суток - звездный (сидерический) месяц, а
период 2л/Q равен 1 году. Добавка 5U приводит к различным искажениям
орбиты Луны - пульсациям эксцентриситета, смещению перигелия (ср. с
задачей 2.38 б) и др. Мы рассмотрим лишь одно из них, пренебрегая их
взаимным влиянием и принимая невозмущенную орбиту Луны за окружность;
принимаем также R = const.
Введем геоцентрическую систему координат Oxyz с осью х, направленной
вдоль линии пересечения плоскости орбиты Луны с плоскостью орбиты Земли
(линия лунных узлов), осью у, лежащей в плоскости орбиты Земли, и осью л,
перпендикулярной этой плоскости и направленной в северную небесную
полусферу (рис. 93 б). Координаты Солнца в этой системе равны
рис. 93 б
R = R(cos(p, sin уз, 0), а координаты Луны равны
V
Sit
Vo,
г = г (cos -0, cos0sin-0, sin0 sin-0), ф = cut + фо,
2.21] §2. Движение частиц в полях 99
где tpo и фо определяются моментами прохождения Солнца и Луны
через
ось х.
Усреднение величины
(Rr)2 = R2 г2 (cosip cos ф + cosdsin^sinirt)2
за месяц сводится к заменам
2 1 2 1
cos фsin фsin ф cos ф -> О,
так что
((Rr)2)Mecau = \R2r'2 (cos2 Ч> + cos2 ^ sin2 v) > (3)
а усреднение за год - к заменам
2 1-2 1
COS (?-"-, Sill
что дает
((Rr)2) = |rV (1 + cos2 в) .
В итоге
<"o--z=^(w"- к.
За поворотом плоскости орбиты можно проследить, рассматривая движение
вектора момента импульса М = то [г г], перпендикулярного этой плоскости.
Уравнение его движения М = К, где
К = -
Td5U
дг
- момент сил, действующих на Луну. Поскольку изменение угла в есть
поворот вокруг оси х, то
то 9SU
Кх = ~Ж'
т. е.
(К) = О, О).
100
Ответы и решения
[2.22
Так как момент сил (К) перпендикулярен вектору М, он приводит лишь к его
повороту. При этом поворачиваются и оси х, у, так что угловая скорость
Г2П прецессии вектора М направлена вдоль оси z. Ее можно найти из условия
Таким образом мы нашли, что период прецессии орбиты Луны составляет
27г/Пп = 17,3 года. Это движение называется отступлением лунных узлов.
Истинное значение этого периода 18,6 года. Учитывая грубость сделанных
нами приближений, можно признать хорошим согласие нашего результата с
истинным.
