Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
формулой (1). Эта формула обладает асимптотической точностью. Ее
относительная ошибка стремится к нулю, как 1/ In s, при s < 0. Но с той
же логарифмической точностью можно заменить в (1) 5 на L и опустить
множитель 2 под знаком логарифма:
T = 2JIILlnkL_
Если U"(а) = 0, U(4) =-К ф 0, то
СО
'6 ш2^ 1^4
Г = 4
еК
dx
х/1 + •
2 ч 1/4
(2)
причем относительная ошибка стремится к нулю, как е1^4, при s -> 0.
б) Если наблюдать за движением частицы в течение времени, большого по
сравнению с периодом Т, то вероятность обнаружить частицу на участке от х
до х + dx
w(x)dx = 2§= ^dx .
T^JE - U{x)
где 2 dt - время нахождения частицы на участке dx за период. Зависимость
плотности вероятности го от а; представлена на рис. 71.
Рассматриваемой вероятности w(x) dx соответствует заштрихованная площадь
(вся площадь под кривой равна единице). При достаточно малых е основной
вклад в площадь под кривой дает площадь под центральным максимумом,
равная Т\/Т. Хотя w(x) -> оо при х -> х\^ вклад участков вблизи точек
остановки относительно мал.
в) =
к к
dp
I du(xk)
dx
где х^ = Xk (р) - различные корни уравнения +U(x) = Е.
1.6] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью
свободы 75
Рис. 72
График w(p) изображен на рис. 72, р\ = у/2т(Е - Um),
Р2 = \j2rn\E - U(с)}, р3 = л/2т[Е -U(b)].
г) Линии Е(х, р) = const (фазовые траектории частицы) приведены на
рис. 73, Р где кривые пронумерованы в порядке возрастания энергии. При U
(с ) < Е < Um фазовая траектория 2 двусвязна. Стрелки указывают
направление движения точки, изображающей состояние частицы.
1.6. За начало отсчета потенциальной энергии принимаем нижнюю точку. При
Е = 2mgl имеем
<p(t) = -тг + 4 arctg tg У^ )
(ip - угол отклонения маятника от нижнего положения). Знак в показателе
совпадает со знаком 0(0). Маятник асимптотически приближается к верхнему
положению.
При 0 < Е - 2rngl <С 2mgl маятник вращается, медленно "переваливая" через
верхнее положение. Период обращения можно оценить, используя результат
(2) предыдущей задачи:
76
Ответы и решения
[1.7
1.7. Угол отклонения маятника отсчитываем от нижнего положения. Энергия
Е = ^т12ф2 + mgl( 1 - cos ф). Пусть в момент to угол <p(to) = О
и для определенности ip(tо) > 0. Введя к = y/'E/2mgl, имеем
t=\^g] ^==^ + t"- (1)
kz - sin jr
При к < 1 маятник колеблется в пределах - <рт ^ ip ^ </?то и к =
= sin Подстановкой sinf = \ sin %¦ интеграл (1) приводится к виду1 2
к 2
t = к) + t0.
Отсюда
(/з = 2 arcsin[fc sn(it, к)], и = (t - to)\j у-
Период колебаний
д \ 2
В предельных случаях (ср. с задачей 1.4)
Т = 27Г\[1{1 + Тб) при <pm <С 1,
Г = 4^1п^- при7г-(^т " 1.
<5
1 Функция F(?, к) = J
y/l - к2 sin2 ?
- так называемый неполный эллиптическим инте-
грал первого рода. Если и = F(?} к), то ? выражается через одну из
эллиптических функций Якоби - эллиптический синус: sin? = sn(и, к).
Полным эллиптическим интегралом первого
рода называется функция К (к) = F , к j. Приведем также формулы для двух
предельных
случаев:
К(к) = f(l + ^) nPHfc"l,
К(к) = 4 In при 1 - к -С 1.
1 1 - Аг
Таблицы и формулы этих функций можно найти, например, в [10].
1.8] §1. Интегрирование уравнений движения с одной степенью свободы
77
При к > 1 маятник не колеблется, а вращается. Из (1) получаем
t = l\[IF(2'i)+to' ^ = 2Arcsinsn(M, u = k(t-t0)^|.
Период обращения
В частности, при Е - 2mgl <С 2mgl получаем
Т = д / i In ¦ ?°
9 Е - 2mgl '
где ?о = 32mgl. Этот результат отличается от довольно грубой оценки,
сделанной в предыдущей задаче, значением постоянной ?о, т. е. на число,
не зависящее от Е - 2mgl.
1.8. Закон движения в поле U(х) + 5U(x) определяется равенством
X
t = (1)
2 J у/Е - U{x) - 5U(x)
(х = а при t = 0). Разлагая подынтегральное выражение в (1) по степеням
SU(x), получаем
t = to(x) + 5t(x), (2)
где
t0(x) = J% I -J*=, (3)
2 J y/E - U(x)
a v
x
x.f n 1 [m [ SU(x) dx
Щх) = -фJ [E-U{x)fX <4)
a
Пусть закон движения в отсутствие поправки 5U(x), определяемый из
уравнения t = to(x), есть х = xq (t). Тогда из (2) находим
х = хо (t - 5t(x)), (5)
78 Ответы и решения [1.8
причем в малой поправке 8t{x) можно положить х = xq (t), а также провести
разложение (5) по St. Окончательно
х = x0(t) - x'0(t)8t(x0(t)). (6)
Вблизи точки остановки х = х\ разложение (2) становится неприменимым, так
как поправка 8t{x) -> оо при х\.
Замечательно, однако, что формула (6) оказывается справедливой вплоть до
точки остановки, если
\8U\x)\ < |F|, F = -U\x1). (7)
Этот факт связан с тем, что хотя с приближением к точке остановки St
возрастает, зависимость x(t) вблизи экстремума оказывается слабой.
Очевидно, что вблизи х\ невозмущенное движение имеет вид
x0(t) =Х! + (8)
Добавление 5U смещает точку остановки на 5хi, согласно уравнению
U (xi + 8x i) + SU (xi + Sx i) = E.
Отсюда Sxi = il. с учетом возмущения SU аналогично (8) имеем
Г
x(t) = хг + Sxi + 2~(^ ~ti~ Stx)2 (9)
(в силу (7) поправкой к F пренебрегаем). Убедимся, что расчет по формуле
(6) приводит к (9).
