Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
98, б). Частоту радиальных колебаний с большей, чем в предыдущей задаче,
точ-
2
Рис.
ностью легко определить, разлагая ?/,фф(г) = уг Н Z + j^u2r2
тг
в ряд вблизи г = b (см. [1], § 21). Из условия U/^(b) = 0 находим
\'Pvu
I т2 2и4 т тс2(и \ 2е2
'-2eba2b{2-V- < =
т
n ,/2 ^ФФ(Ь) 7
Отсюда для и>г = у --- получаем окончательно и>г = и - , а рассто-
яние между частицами
г = b + acos(urt + а). (3)
Для нахождения <p(t) воспользуемся сохранением обобщенного импульса Р<р =
yZ {/Р + 2") • ^ Учетом (2), (3) получаем
p(t) = -Д - | sin(avi + а) + р0.
(4)
Воспользовавшись (3) и (4), можно представить координаты относительного
движения в виде
х = г cos о? =
up = b cos(71 - (fo) + a cos (ut + у + /3 j , у = r sin</5 = - bs'm(jt -
<p0) - asinf ut + - + /3),
JJ = a - po-
114
Ответы и решения
[2.35
Здесь первые слагаемые отвечают движению центра окружности с дрейфовой
скоростью 67, а вторые - движению по этой окружности с угловой
Итак, центры окружностей, по которым движутся частицы, вращаются вокруг
начала координат с угловой скоростью 7 (дрейфуют со скоростью 67/2), а
радиусы этих окружностей пульсируют с частотой 7/2 (рис. 99).
Механизм "перекачки" энергии проще всего понять в другом предельном
случае: а Ь (расстояние между центрами орбит частиц мало по сравнению с
радиусами орбит (рис. 100)). Очевидно, работа, совершаемая силами
взаимодействия, над второй частицей положительна, а над первой -
отрицательна в течение многих периодов.
2.35. Убедиться в постоянстве данной величины несложно, используя
уравнения движения (ср. [1], § 15), причем удобно представлять ее в виде
AF+i[Fr]2 , где А = [vM] - (-у-. При малых значениях Г траектория близка
7
скоростью lj + -.
Рис. 99
Рис. 100
Координаты частиц Ж72 = X ± У72 = Y ± | удобно
представить
в виде
(6)
(6)
где
tgV>l,2
2.36]
§ 2. Движение частиц в полях
115
к эллипсу, большая полуось которого направлена по вектору А, а
эксцентриситет е = |А|/а. В этом случае AF к, const, или есовф = const,
где ф - угол между А и F.
2.36. Появление малой добавки к потенциальной энергии 5U (г) приводит к
изменению величин, характеризующих движение частицы (момент, положение
перигелия и т. д.), причем за небольшой промежуток времени (несколько
периодов невозмущенного движения) они также изменяются мало. Однако за
длительное время изменения накапливаются, так что некоторые величины
могут измениться во много раз.
В частности, орбита в течение малого промежутка времени остается
эллипсом. Большая полуось этого эллипса а = -р- определяется энергией
2\Е\
и не изменяется за длительное время. Эксцентриситет же е и ориентация
подвержены накапливающимся изменениям.
а) Изменение момента определяется уравнением
М = [rF],
Усредним это уравнение по периоду
<М) = [<r)F],
1
м2
где
dt.
(3)
Рис. 101
Для усреднения используем систему координат с осью Oz, параллельной М, и
осью Ох, параллельной А (рис. 101). (Здесь А = [vM] - " - дополнительный
интеграл в задаче Кеплера; напомним, что вектор А направлен от центра
поля к перигелию, а |А = ае.) Очевидно, что -(г) параллелен Ох.
Т1
Подставляя х = a(cos? - е), t = - esin?), получаем
2тг
(х) = Дф j(cos?-e)(l-cos?)de = -^f •
(4)
Таким образом,
/ \ _ 3ае А За Л
W " 2 |Д| ~ 2а
(5)
116
Ответы и решения
[2.36
б) Если сила F перпендикулярна к М, то из соображений симметрии ясно,
что орбита - плоская кривая, а вектор М сохраняет свое направление (с
точностью до знака). Перепишем (2), (5), опуская знак усреднения, в виде
М = Щ^-Рвтф, (6)
где ф - угол между А и F. Учитывая, что
е cos ф = ? = const (7)
(см. задачу 2.35), и исключая из (6) ей ф, находим
3ciF, /т
М = -^1-?-тШ- (8)
Интегрируя уравнение (8), получаем
М = M0cos(m + /3), (9)
где
^ = М° = \Jmaaivx ~ ?2)>
а также
е = y/l - (1 - е2) сов2(Ш + /3).
Итак, траектория представляет собой эллипс, покачивающийся около
направления F и меняющий в такт покачиваниям эксцентриситет (рис. 102).
Направление движения частицы по эллипсу также изменяется (вместе со
знаком М). Период колебания эллипса 27г/П гораздо больше периода
обращения частицы по эллипсу Т.
в) В общем случае рассматриваем также изменение вектора А. Используя
уравнения движения, легко получить
A=^[FM] + [v[rF]]. (10)
Рис. 102
2.36] § 2. Движение частиц в полях
Для усреднения (10) используем равенства
117
/ • \ / d х2
{хх) = \ШТ
0,
ы = (1т) = 0-
(ху) + (ух) = (Jj^xy) = О, (ху) - (ух) = Ц.
(11)
Получаем
<A> = 2^FM]
(12)
Итак, для М и А, усредненных по периоду (знак усреднения опускаем), имеем
систему уравнений
А = ^\т,
М =
2а
Компоненты этих векторов, параллельные F, сохраняются:
MF = const, AF = const
(13)
(14)
- результат, который легко получить и из других соображений. Для
поперечной компоненты М
М =М-
F(MF)
из (13) получаем уравнение
М
-П2М± = 0.
(15)
(16)
Его решение запишем, введя систему координат ОХ 1X2X3 с осью A3,
параллельной F:
J Mi = В\ cos fit + Ci sin fit,
I М2 = i?2 cos fit + Ci sin fit.
