Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Этот период определяет период повторения циклов солнечных и лунных
затмений. Его (точнее, его утроенное значение, содержащее целое число 19
765 суток) знали еще жрецы древнего Вавилона.
Заметим, что ограничившись усреднением за месяц, т. е. используя (3), мы
обнаружили бы неравномерность прецессии в течение года:
Учет следующих членов разложения SU по (г - а) даст в П вклад < е2П.
2.23. Смещение перигелия за период можно представить в виде
[Г2ПМ] = (К),
что дает
/Q \ Ш (Кх)
^ u>z Л/Г ,2";
Му ти>г2 sin в
О
17,3'
2.22. Аналогично задаче 2.18 имеем
[5U'(a) + | №"{а)\
Г2+&Г2
J {E-U^-5Uf/2dr.
ri+Sri
2.24] §2. Движение частиц в полях 101
С точностью до второго порядка по SU имеем
Aip = 2п + 5iip + S2ip,
s* = Tm<su>'
^=-2ЭШё1Т"Я,>2>1'
где (/) - среднее значение функции /(г) за период Т невозмущенного
движения (ср. с задачей 2.17). Скорость прецессии
n Siip + S2ip Slip S2ip SiipST ~ T + ST ~~Tr + ~T T2-'
ST = -^(T(SU)).
2.24. Представим уравнение траектории
f M dr
43= / 1 ^
J r2x 2m(E - ^ + ^
V ^ 2 mr r
разлагая подынтегральное выражение no SU = 7/г3, в виде
ip = ip0(r) + Sip(r), (2)
где
( \ I M dr ^
<Po(.r) = / -------------------------------------------------------------
---------- (3)
2mA E -
r I \ f Iм dr ,Л\
Ыг) = / ----------, (4)
2 ml E -
, 3
a
Пренебрегая в (2) поправкой Sip (г), получим, разумеется, уравнение
траектории в кулоновском поле (см. [1], § 15)
Р
- = 1 + ecos ip, (5)
102 Ответы и решения [2.24
где р = е = л 1 Н -. Учитывая же в (2) поправку Sip (г), получим
,п V та
вместо (5)
Р
у = 1 + ecos((/3 - 5р(г)). (6)
В правой части (6) можно провести разложение по Sip (г), а также
подставить в Sip (г) зависимость г = го {р), определяемую, согласно (5),
г
Р
- =1 + ecosip + eSip(ro(ip))smip. (7)
Вычисляя интеграл (4), находим
X t ( \\ т а1 Г о 2е + 1 . i + е cos ip. 2 , -п Л
др(г0{р)) = -j-i -Зр s smт? - [2е+(е + 1)cos</jJ
Af4 L е^ sin (р J
(8)
Подставляя (8) в (7), с точностью до первого порядка по ( = т У получаем
М4
j. = 1 + е cos[(l + ЗС)<^] + С 26 е+ 1 sin2 р-
~ С1 + epCOS ^ [2е + (е2 + 1) cos <р\ (9 а)
1 Удобно представить (4) в виде
л/2ш7 dr
т\1е- "
2 тг2 Т
и перейти к интегрированию по Lp согласно (5):
о2
5ip=dM^I^ J (l + ecosV)dp =
3m2xa, . , m2xa fie ¦ m2xa dip . ,
= -^^^ + ешп(р) + ^гш*т1р+^ш(1 + есо*(р). (8)
Находя из (5)
2AI _ de dip . де _ е2 - 1
торг dMCOSV edMSmlp' дМ еМ и подставляя в (8;), получаем (8).
2.25]
§ 2. Движение частиц в полях
103
или
р
- = 1 + е' cos Х(р + f cos 2ip,
Л = 1 + 3C,
/ Л , >e3 - 2e2 + 5e - 1\
P =p(l + C 2e J
Л , 2e - e - 2^
6 =41+c-^-J
f = -(
(9 6)
4 - 2e3 - e2 - 2'
2e2
e3 + 2e2 + e + 1 2e '
Вблизи (p = 0,7г разложение (2) становится неприменимым, так как 5<р
неограниченно возрастает. Однако уравнение траектории (9) справедливо и в
этих областях (ср. с задачей (1.8)).
В случае инфинитного движения (Е ^ 0) уравнение (9) решает задачу.
Если же Е < 0, то (9) есть уравнение траектории лишь
на нескольких
оборотах1, пока остается 3?<р <У 1. Сохраняя в (8) только накапливающуюся
часть 6(р = -3(ср, получаем уравнения
^ = l + ecosA ip, А = 1 + 3?, (10)
описывающие траекторию па большом участке ("правильное", в отличие от
(5), нулевое приближение; ср. с задачей 2.18). Нетрудно также
видоизменить уравнение (9) так, чтобы оно описывало траекторию на большом
участке с точностью до первого порядка включительно:
Y = 1 + е' cos \ip + f cos 2\ip. (11)
2.25. Достаточно убедиться, что выраженная через координаты центра
-г, rtllTi + Ш2Г2 ,
масс R = -------------- и относительного движения г = г2 - ri функция
mi + m2
Лагранжа разбивается на две части:
L = Li(R, R) + Т2(г, г),
Li(R, R) = Wi;W2R2 + (б1 + e2)<fR,
L2(r, r) = |r2 - + m(^ - щ)*г.
'В частности, радиус-вектор г должен быть периодической функцией (р.
104
Ответы и решения
[2.26
Функция ?i(R, R) определяет движение центра масс, происходящее так же,
как движение частицы с массой т\ + Ш2 и зарядом е\ + в однородном поле.
Относительное движение, определяемое L->(r. г), происходит
так же, как движение частицы с массой ш = mi,m2 (приведенная масса)
т 1 + тг
в кулоновском и однородном ПОЛЯХ.
Такой же результат можно получить, конечно, и исходя из уравнений
движения частиц.
2.26. L = ГП1*1 ^ Ш2*~2 _|_ ^-_д_(Г1)г1 _|_ ^-А(г2)г2. Функция Лагранжа
разбивается на две части, содержащие только R, R и г, г (обозначения
задачи 2.25), если ^ = Ц:
L = ГЩГП2 ?2 + ^i+^2 A(R)R + т-2 + е1т1 + б2(tm)| А(г)г.
4 г 4 с(т 1 + шг)
N . N
2.27. T = -Y,^n(i, Р = UnIn, М = ? ?J> ГДе
z 71 = 1 П=1
N
= + (п = 1, ---,N-1), pN = J2mk.
Е fe=1
fe=i
2.28. Обозначим координаты летевшей и покоившейся вначале частиц через х\
и х^. Пусть в начальный момент х\ = -R, Xi = 0. Центр масс системы
движется по закону X = - ^ + у. Относительное движение с координатой х =
Х2 - xi происходит по закону
f - _ /т I dx
а
хп
Закон движения первой частицы
2.30] §2. Движение частиц в полях 105
/ 2 \ 1/гс
Расстояние между частицами уменьшается до величины хт-ш = >
