Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
a
4
do при 0 < в < вп
где
л/1 - V/E.
Чем вызвано отличие этого сечения от сечения рассеяния на потенциальной
яме (см. [1], § 19, задача 2)?
Л,2 \ _,2
3.4. а)
<7 = <
О
при Е<^.
Как изменится сечение при изменении знака а?
б)
(7 = <
02
при Е>-, в2
при Е < -.
3.5. а) Рассмотрим движение пучка частиц в поле U(r) = - Графики К,фф(г)
= Ер2 а
= - р значениях прицельного парамет-
г г
ра р приведены на рис. 106.
При больших значениях р (кривая 1) частица рассеивается, приближаясь к
центру поля на расстояние гт\п(р), определяемое условием = Е. При
уменьшении р уменьшает-
ся и гт;п вплоть до значения г о, достигаемого при р = ро (кривая 2). При
еще меньших р частица падает в центр (кривая 3).
Рис. 106
3.6] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение частиц 127
Величины го и ро определяются условиями
^ФфЫ = Е, ^эфф(т0) = О
и равны
_/ 0ч1/и ( 2Е\ 1/и _ Г~п~ Г (и -2)а]V"
Го ^ ^ V a J ' Ро у п - 2 [ 2Д .
Если R > го, то на шарик падают частицы с rmm ^ R, и сечение
падения п о / (tm) \
<т = пр (гшш = Д) = 7гД (1 + --- ).
V ERZ /
Если Д < го, то на шарик падают частицы, которые упали бы в центр, и
сечение падения
~{п - 2)ап 2/и
_ 2 тго [{n-Z)ay а - 71 Ро - п-2[ 2 Е \
б) а = ^(2^1 _ если 2^ > /3, ER4 < 7.
Если же хотя бы одно из этих неравенств не выполняется, то
сг = ttR2 (1 +
:>2/i 7 /3
ДД4 ДД2
3.6. a) da = R2{-1 + X^do где
4(l + Л sin2
4ДД(ДД + а)
Х ~ 2 '
а
Как объяснить результат, получаемый при а + 2RE = О? б) В плоскости
траектории частицы введем декартовы координаты с осью х, направленной
вдоль оси пучка, и осью у - вдоль прицельного параметра. Движение частицы
в области г ^ Д есть гармоническое колебание по каждой из координат,
причем в начальный момент этого колебания (при t = 0) Уо = р, Уо = 0, х0
= -\JR? - р2, хо = v, так что
х = -у/Д2 - р2 coscot + Е smut, y = pcosu>t. (1)
Момент выхода частицы из области действия сил определяется условием
x2+y2=R2, (2)
128 Ответы и решения [3.7
а угол 0 между скоростью частицы в этот момент и осью х - условием
¦ о У № . . ,"ч
sin 0 = - = -- sin iot. (о)
Подставив (1) и (3) в (2), получаем уравнение
р4 - p2R2( 1 + Л sin2 0) + ^Д4( 1 + A)2 sin2 0 = 0,
2
где А = -Отсюда
R LO
р\ 2 = + A sin2 0 =р \/cos2 0 - A2 sin2 0 cos2 0),
и сечение
п, 2, , I , 2|Л " 2 Д2(1 + a2 cos20)do
da = 7Ty\dp^ | + |ф2|) = - р2) =--------------- -.
2у1 - A2 sin 6
Если А > 1, то возможно рассеяние только на углы, меньшие 0ТО =
т~>2 2 д
= arcsin ^ , а при 0 -> 0т сечение ^ неограниченно возрастает. Такая
особенность сечения называется радужным рассеянием (см. [11], гл. 5, §
5). Подобного типа особенность сечения приводит к образованию радуги при
рассеянии света каплями воды.
Примеры радужного рассеяния см. также в задачах 3.8, 3.10.
3'7' а) f а2в2т{вт-в) _ _V
fQ = \ 03(20то - 0)2 ПР
[ 0 при 0 > вт.
б) При вычисления угла рассеяния (см. [1], § 20)
ОО ,---------
f FVdx olSP\/R2-P2
в= J 1Ё-=2Ё-#
- ОО
учтем, что сила
3.8] §3. Сечение рассеяния в заданном поле. Столкновение
частиц 129
Отсюда находим р22 = Т \А ~ 02/(r)т)' гДе = V/Е, поэтому
da = Tr(\dpi\ + \dp%\) = Trd(p1 - р2). Окончательно
R2do при 0 < в < вт,
da = \ 2втЛ/в/п - в2
О при в > вт.
Сравните этот ответ с ответом задачи 3.66, в которой рассматривался
потенциал, отличающийся знаком от данного.
3.8. Угол отклонения частицы
Зтг/З тга
в =
АЕр4 2 Ер2
(1)
легко вычисляется по общей формуле1. Зависимость в(р2) изображена на рис.
107. Из (1) находим
2 "7Г / Г, | V 1
ft = Ia \ 1 + ж:-1
2
где вm = -[Цтд. Сечение
da = ir(\dpf \ + \dp%\ + I dpi I) = 7Td(-p\ + pi - pi) = a7r ( 1 + 0/2 0m
2-0/
8Ев3 у y/l + 0/0TO y/l - 1
- 1 \ do. (2)
Для справедливости полученного результата достаточно, чтобы каждое
слагаемое в (1) было много меньше единицы. Оценка показывает, что для
этого достаточно выполнения условия в " 1. Выражение (2) получено для в <
вт. Если вт <С 1, то для вт < в <С 1 сечение
da = n\dpj\ = -Ш- ( 1 + в/2вт - l) do.
'Проще всего взять оба слагаемых (1) из задачи 2 к § 20 работы [1].
130
Ответы и решения
[3.9
Рис. 107
da
Рис. 108
Зависимость - от в изображена на рис. 108. При 9 -> 0 и при в -> 9т
сечение - неограниченно возрастает. Сечение рассеяния в интервал уг-
do
лов, прилегающий к в = 0, бесконечно, так как рассеяние на малые углы
отвечает большим прицельным параметрам.
Сечение рассеяния в интервал углов вт - 5 < в < вт
2тг ^-9d9 = -
'¦51/2
do
2 Ев.
3/2
конечно и стремится к нулю при <5 -> 0.
Как зависит количество рассеянных частиц, попавших на счетчик, от
размеров счетчика, если он расположен под углом вт?
3.9. Скорость частицы после рассеяния по сравнению с первоначальным
направлением оказывается повернутой на угол
в :
v'l - а2/р2
а2 - - ~ Б'
(1)
Счетчик рассеянных частиц регистрирует вместе с частицами, отклоненными
на угол |0| < 7г, также и частицы, сделавшие предварительно несколько
оборотов вокруг центра (рис. 109, а). Наблюдаемый угол отклонения х лежит
в пределах 0 < х < тг и связан с в соотношением
