Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение иффг) = 0 приводится к виду f(x) = М2и/ат, где f(x) = х(х +
1)е~ж, х = хг. С помощью графика f(x) легко убедиться, что это уравнение
имеет корни только при условии, что М2х/ат меньше максимального (при х >
0) значения f(x).
Последнее равно (2 + фъ) ехр ~ 84. Итак, финитное дви-
жение возможно, если М2 < 0, 84ат/х.
б) Финитное движение возможно, при М2 < 8mV/e2x2.
2.8. В уравнении траектории (см. формулу (1) задачи 2.3) при малых г
можем пренебречь величиной Е (при п = 2), а при п > 2 - также и членом
М2/2тог2. Получаем (рис. 89)
Mln(r/ro) ф2 та - М2
2 тГ~1+п/2 ^
ф2та(п - 2)
¦ <Ро
С
при п = 2, при п > 2.
92
Ответы и решения
[2.9
Число оборотов оказывается бесконечным только при п = 2.
Время падения в центр конечно, поскольку радиальная скорость при
приближении к центру возрастает.
2.9. Число оборотов частицы вокруг центра бесконечно только в случае б)
при Е = 0, п = 2.
2.10. Время падения равно n^/mR3/8а.
2.11. Относительное движение характеризуется моментом М = rnvp
~ 771 mv2 ТП1ТП2 ТТ
и энергией Е = где т = т приведенная масса. Искомое
расстояние определяется условием ?Т,фф(гт;п) = Е. Простой ответ может
быть получен при п = 1,2,4.
2.12. Траектории частиц:
Е и М - полные энергия и момент системы. Частицы движутся по подобным
коническим сечениям с общим фокусом, причем радиусы-векторы частиц в
любой момент направлены противоположно (рис. 90).
т
Р
1 ± е cos ip,
"Ц,2 гг, 2
где
т= ----1---1 P=T^Ki е
mi+m.2 та
mim2 М2
2ЕМ2. та2
О S
Рис. 90
Рис. 91
2.13. Как легко видеть на рис. 91,
OS = p(ctg (ро - ctg2yj0).
Здесь
СО
Ро = Р
/
t2tJ\ - U(r)/E - р2/г2
dr
2.15] §2. Движение частиц в полях 93
При р -> О
СО
р0 = р ------ dr _?.3K3/2AL / dr--
J г2ф!-и/Е дЕ J г4фЩ=и
Г min
(ср. с задачей 2.23), так что
05= (2 / --------^) + 0(р2)...
V J ФфХ-и/Е)
Точка S - мнимый фокус пучка рассеянных частиц, так как с точностью до
первого порядка по р включительно положение точки пересечения асимптоты
траектории с осью пучка не зависит от р.
2.14. Уравнение траектории Р
- = ecos(уз - ip0) - 1,
AT / 2FM
гДе P = e = \ 1 H a ifio определяется из
j- 2 j 07771^2
та '
V I I I'-JL
условия ip -" 0 при r -" oo: cos 990 = 1/e. Область, недостижимая для
частиц, ограничена огибающей семейства траекторий.
Для определения ее продифференцируем уравнение траектории
| 1 АТ / 2_Е ¦ /-1 \
- + l-COS^--у -8111(^ = 0 (1)
по параметру М: ,---
2М , /2Е _ п
тг у то sm33 Oj (2)
и исключим М из (1) и (2):
2а/Er = 1 + cos уз.
Итак, недостижимая для частиц область г < ------------ ограничена
параболоидом вращения (рис. 92). ^ cos
2.15. р< ----------; ,ще 5 =Щр^,ОА = а.
1 -<52 - (1 -<5)2cosy 2а
94 Ответы и решения [2.16
2.16. Умножим равенство
[vM] - = А
скалярно на г. Обозначив через <р угол между г и А, получаем
М2 л
- ar = Ar cos ip
Р , М2 1А
или - = 1 + е cos ip, где р = -, е = -.
Отметим, что вектор А направлен от центра поля к точке г = rmin-
5U (г) dr
2.17. 5Т = -Щ;, где дЕ
5I = T(6U) = 2]jf J
\/Е ~ ^эфф(г)
(ср. с задачей 1.10). Подобным же образом изменение углового расстояния
между последовательными прохождениями точек г = rmin можно предста-
вить в виде (ср. [1], § 15, задача 3; § 49).
2.18. В области г <С D поле U(г) мало отличается от кулоновского
Uo(r) = <у/т. Поэтому траектория финитного движения близка
к эллип-
су, параметр р и эксцентриситет е которого, определяемые постоянными Е и
М, сохраняются, а ориентация изменяется. Скорость поворота эллипса О
определяется смещением перигелия за период П = 5Ар/То, где 5Ар вычисляем
по формуле предыдущей задачи с 5U = А _ а Т0 - период
в кулоновском поле1. В результате вычисления получаем П = M/2mD2.
Уравнение траектории можно представить в виде
Р 1 _L .ОД) , ,
- = l + ecos7<)j, 7 = 1--. (1)
Отклонение кривой (1) от истинной траектории - первого порядка малости по
SU, т. е. в течение одного периода уравнение (1) описывает траекторию с
такой же точностью, как уравнение неподвижного эллипса. Однако уравнение
(1) сохраняет ту же точность в течение многих периодов. Поэтому именно
это уравнение можно назвать "правильным нулевым приближением".
Иначе говоря, в уравнении (1) учтены только накапливающиеся эффекты
первого порядка.
'Удобно перейти к интегрированию по причем (см. [1], § 15) г = -р-- (1 -
е cos 5).
2\Е\
2.20 б] § 2. Движение частиц в полях 95
2.19. Поле U(г) = -a/r1Jre мало отличается от кулоновского, поэтому
орбита частицы в этом поле представляет собой медленно прецессирую-щий
эллипс. Разлагая U (г) по е, представим его в виде U (г) = По (г) + 5U,
где Uo(r) = -у, SU = In а = aR~?, R - постоянная, равная характерному
размеру орбиты. т
Смещение перигелия за период 6Ар = J5U dt (см. задачу 2.17) вычисляем,
сделав замену о
а е\ + Т le • е\ /1 2ЕМ2
r = - -(l-ecos^, i=2^-esinO, е=\1+~д^
Т = ттaj(см. [1], § 15). Получаем
271- ____
п_5Ар_еа д [ сДД-еcos?)
Т 2 TTdMj 2\E\R *
о
27Г
= _ОД1 _де_ [ cos jdj = 2тг 1 - Vi - е2
7Г дМ J 1 - е cos ? Т е2
