Сборник задач по классической механике - Коткин Г.Л.
ISBN 5-93972-058-7
Скачать (прямая ссылка):
а затем вновь возрастает. Когда оно вновь станет равно R, первая частица
окажется в точке
И/"^niin
1
Xlf - ^min
4 \Jl - z~
1 ]dz - 1
(1)
имеет интегралы
Точка остановки налетевшей частицы есть предел x\f при R - эс.
Если п ф 1, то xif -> сю при R -> сю, т. е. обе частицы после
столкновения уходят на бесконечность.
2.30. Уравнение движения
eg г 1 ,
mv = -~ [vrj (1)
cr
^f=E, (2)
r i e9 г т т[ rvj---=J. (3)
7 2
Умножив (1) скалярно на г, получаем rv = 0 или - С- v2 = 0, откуда
at ^
г2 = Го + v2{t - to)2. (4)
Умножив (3) скалярно на г/г, получаем
- Щ- = J cos#, (5)
где в - полярный угол в сферической системе координат с осью г,
параллельной вектору J. Проекция (3) на ось z
тг2ф sin2 в -tL cos д = J совместно с (5) дает Т
Ф= J' (6)
mr
При t = to имеем v = гдф sin в и из (6) следует J = тф0^, и с учетом (5)
" mrgvc ,
tgв = -ёд~- а)
106 Ответы и решения [2.31
Интегрируя уравнение ф =-----, получаем
sin# • г (t)
1 v(t - tn) ,
^ = ^0 + ^arCtg^^- (8)
Таким образом, частица движется с постоянной скоростью v по поверхности
конуса в = const. Введя
ф = (ср - (ро)втв, (9)
перепишем (8) в виде
v(t - to) . .
tg Ф=-р~о • (10)
Равенства (4), (9) и (10) можно интерпретировать следующим образом:
движение точки по развертке конуса оказывается равномерным и
прямолинейным, причем г п гр - полярные координаты в плоскости развертки.
2.31. Движение заряженной частицы в электромагнитном ноле определяется
функцией Лагранжа
i=^-e^+fvA, (1)
где р и А - скалярный и векторный потенциалы (см. [2], § 16,17).
Используя цилиндрические координаты, имеем
L = m^ + ^p + e) + l фг1 (2)
2 с (г2 + ? ) /
Из уравнения движения для z
3f____________m г'ф_______
тг+2с(,.2 + Д)5/2-° <3>
видно, что при z = 0 компонента силы, параллельная оси z,
обращает-
ся в нуль. Поэтому, если z(0) = z{0) = 0, то траектория частицы лежит в
плоскости z = 0. Так как <р является циклической координатой, имеем
2.31]
§ 2. Движение частиц в полях
107
Отсюда видно, что pv в случае инфинитного движения есть значение Mz при г
-> оо. Кроме того, выполняется закон сохранения энергии (так как dL/dt =
0):
Ш/•2 | 2-2\
Ш / -2 I 2 • 2\ т~?
- {г +г (р ) = Е.
Исключая из (5) ф с помощью (4), находим
т 2
1
f г2 + Иэфф(г) = Е,
где
^эфф(^) -
2 тг
2 \Pv СГ ) '
(5)
(6) (7)
Таким образом, движение вдоль радиуса происходит так же, как одномерное в
поле С7эфф(г).
Графики С/Эфф(г) для случаев pv < 0 и pv > 0 изображены на рис. 94, а и б
соответственно.
а)
Рис. 94
В случае pv < 0 для любой энергии Е > 0 движение инфинитно. Для того,
чтобы качественно изобразить траекторию, полезно выразить из (4)
Ч> =
\р<р\
тг
ет
тег3
(8)
Скорость поворота радиуса-вектора частицы имеет все время одно и то же
направление и возрастает с приближением к диполю.
Примерный вид траектории показан на рис. 95 (кривая 1). Траектория
симметрична относительно прямой, соединяющей центр поля с точкой
Т - ^min-
108
Ответы и решения
[2.32
Рис. 95
Рис. 96
В случае pv > 0 возможно рассеяние частиц любой энергии Е > 0,
следует, что ф > 0 при г > г\ = фф- и ф < 0 при г < г\. При г = г\
Ср<р
частица имеет "точки остановки" по ф.
Частица с энергией Е > Um (Е = Е2 на рис. 94,6) рассеивается, причем в
двух точках г = г\ ее скорость параллельна радиусу-вектору (рис. 95,
кривая 2).
При Е < Um возможно рассеяние без точек остановки по <р (рис. 95, кривая
3) или финитное движение в кольце а ф г ф b (рис. 96). В последнем случае
частица в течение периода совершает как прямое (участок АВ), так и
"попятное" (участок ВС) движение по ip.
2.32. а) Удобно использовать цилиндрические координаты, а векторный
потенциал выбрать в виде A f = ^гЖ\ Az = Аг = 0. Движение в направлении
оси z равномерное, а в плоскости, перпендикулярной к оси z, - финитное.
Проекция траектории на эту плоскость изображена на рис. 97. Траектории а,
б, в отвечают условию1 pv > 0 и соответственно
С Т)
а при Е < Um =----------(Е = Е\ на рис. 94, б) возможно также финитное
32ne m
движение. Из равенства
Pv em
rnr2 тег3
'Для определенности считаем Ж > 0, pv - обобщенный импульс,
соответствующий координате ip.
2.32]
§ 2. Движение частиц в полях
109
Рис. 97
U2 = трг, & = И = Vfl2 + А. Для pv < 0 траектория
приведена на
L АТТЪС
рис. 97, г, для pv = 0 - на рис. 97, д.
Закон движения частицы в этой плоскости легко найти, зная движение
свободного изотропного осциллятора с частотой П (см. [1], § 23, задача 3)
г2 = a2 cos2 Ш + b2 sin2 Ш, ip = -Ш + Arctg^ tg Qtj }
Здесь минимальный (6) и максимальный (а) радиусы определяются энерги-
q2 ~
ей Е = m^ (a2 + b2) -pvО и импульсом pv = mVtab, а начала отсчета tncp
выбраны так, что </?(0) = 0, г(0) = а. Интересно, что период радиальных
колебаний Т = тт/Q, не зависит от Е и pv. Угол поворота радиуса-вектора
за этот период А<р = 7г(±1 - И/И) для pv ^ 0 и А<р = -И/И для pv = 0 не
зависит от Е.2
Как изменится движение частицы, если Л < 0?
Интересно сопоставить движение частицы в этой задаче с движением в
